Intento demostrar que si $R$ es un dominio integral tal que todo ideal primo de $R$ es principal, entonces todo ideal de $R$ es principal.
Para empezar, supongamos que $P$ es el conjunto de ideales de $R$ que no son principales. Supongamos que $P$ no es vacío. Intento aplicar el Lemma de Zorn para demostrar que $P$ tiene un elemento maximal y para ello quiero demostrar que cada cadena en $P$ está limitada por encima por $R$ sí mismo.
Esto me lleva a preguntarme si un ideal principal puede contener un ideal no principal.
Afirmación: Supongamos que $R$ es un director. Entonces cualquier ideal $I$ de $R$ es un ideal principal.
Prueba: $R$ es principal por lo que para algún elemento $\alpha\in R$ , $R=(\alpha)$ . Supongamos que $I$ es cualquier ideal de $R$ . Además, supongamos que $I$ está generado por dos elementos, digamos $a_{1}$ y $a_{2}$ así que $I=(a_{1},a_{2})$ . Desde $I\subseteq R$ , $a_{1},a_{2}\in R$ así que como $R=(\alpha)$ existen elementos $\beta_{1},\beta_{2}\in R$ tal que $\alpha\beta_{1}=a_{1},\alpha\beta_{2}=a_{2}$ . Entonces, como cualquier elemento de $I$ es de la forma $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$ donde $b_{1},b_{2}\in R$ se deduce que los elementos de $I$ son de la forma $\alpha(\beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2})$ donde $\beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2}$ . Dado que cualquier elemento de $I$ es de esta forma, $I=(a_{1},a_{2})=(\alpha)$ así que $I$ es un ideal principal.
Luego paso a la siguiente parte del ejercicio que dice que hay que demostrar que si $I$ es un ideal no principal en $R$ entonces $I_{a}=(I,a)$ para algunos $a\in R$ es un ideal principal. $I\subseteq I_{a}$ por lo que los ideales principales pueden contener ideales no principales. ¿Dónde me equivoqué en la prueba de mi afirmación?
