Transformada de similitud con psuedoinverso

Question

Si $P$ es de rango completo y $A$ y $P$ son cuadrados, $PAP^{-1}$ es una transformada de similitud de $A$ . En particular, tendrá los mismos valores propios que $A$ .

¿Hay algo útil que podamos decir si $P$ no tiene rango completo, ni siquiera es necesariamente cuadrado, y en su lugar utilizamos el pseudoinverso de Moore-Penrose es decir: $PAP^{+}$

Answer 1

No parece haber ninguna relación evidente.

Sea $P=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ y $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ c & d \end{bmatrix}$ .

Los valores propios de $P A P^\dagger$ son $0,1$ los valores propios de $A$ son ${(1+d) \pm \sqrt{(1-d)^2+c} \over 2 }$ . Podemos elegir $c,d$ para que $A$ tiene cualquier par de valores propios que queramos con la condición de que sean un par conjugado si no son reales.

Answer 2

No. Considera $A=I$ y $P=P^+=0$ .