¿Es suficiente el teorema de integrabilidad de Riemann para justificar que existe una función continua g para estas condiciones?

Question

Tengo una pregunta que dice "supongamos que f es una función integrable sobre [a,b] (no necesariamente continua), entonces para cualquier número positivo > 0, existe una función continua g sobre [a,b], y f(b) = g(b), f(a) = g(a) y $$ \int _a^b\:\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\:<\:$$

Entonces, sé que por la Condición de Riemann para la Integrabilidad: Una función acotadafdefinida en [a, b] es integrable de Riemann en [a, b] si y sólo si para todo > 0, existe una partición P() de[a, b] tal que S(f;P())S(f;P())< .

Como g es continua en [a, b], entonces g es uniformemente continua en [a, b](Teorema 4-10 de Kirkwood). Sea >0. Entonces por la continuidad uniforme off, existe ()>0 tal que si x, $y[a, b]$ y $|xy|< ()$ entonces $$\left|g\left(x\right)g\left(y\right)\right|<\frac{}{b-a}$$

Sea $P={x_(0), x_(1), x_(2), . . . , x_(n)}$ sea una partición de [a, b] con $P < ()$ . En $[x_(i1), x_(i)]$ g asume un máximo y un mínimo (por el Teorema del Valor Extremo), digamos en $x'_{\left(i\right)}$ y $x"_{\left(i\right)}$ respectivamente. Así,

$S(f;P)S(f;P) =ni=1(f(x'_(i)f(x"_(i))xi<bani=1xi=\frac{}{b-a}(ba)=.$

¿Es suficiente para afirmar que existe una función continua g para las condiciones dadas? Si no es así, ¿qué me estoy perdiendo? Estoy un poco confuso.

Answer 1

Pista:

• Utilizando Darboux se observa el criterio if $f$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ para cualquier $\varepsilon>0$ existen funciones escalonadas $\ell(x)$ y $u(x)$ tal que $\ell(x)\leq f(x)\leq u(x)$ tal que $$\begin{align} \int^a_b(u(x)-f(x))\,dx&\leq \int(u(x)-\ell(x))\,dx <\varepsilon/2\\ \int^a_b(f(x)-\ell(x))\,dx&\leq \int(u(x)-\ell(x))\,dx <\varepsilon/2 \end{align} $$ Esto en cierto modo dice que las funciones escalonadas son densas en el espacio de las funciones inegrables de Riemann.

• Se puede observar que se pueden encontrar funciones continuas $\phi$ y $\psi$ en $[a,b]$ tal que $$\begin{align} \int^a_b|u(x)-\phi(x)|\,dx&<\varepsilon/2\\ \int^a_b|\psi(x)-\ell(x)|\,dx& <\varepsilon/2 \end{align} $$

De aquí se obtiene $$\begin{align} \int^b_a|\psi-f|&<\varepsilon\\ \int^b_a|\phi-f|&<\varepsilon. \end{align}$$