Los cocientes de $\mathbb{Z}[i]$

Question

Deje $\mathbb{Z}[i]$ ser el anillo de los enteros de Gauss. Por una simple representación es el conjunto de los números complejos de la forma $a+ib$ tal que $a,b \in \mathbb{Z}$. Se sabe que $\mathbb{Z}[i]$ es uno de los principales ideales del anillo.

Deje $z$ ser distinto de cero y no de la unidad y deje $(z)$ ser el ideal que genera. ¿Cuál es el número de elementos en el cociente $\mathbb{Z}[i]\big/ (z)$ ?

Supongo que es $N(z)$, la clásica de la "norma" en la $\mathbb{Z}[i]$ definido por $N(z) = z\bar{z}$. Esto puede verse fácilmente en un dibujo (que es una reminiscencia de Pythagora de la prueba), pero alguien me puede ayudar sobre cómo demostrarlo rigurosamente ?

Editar (en respuesta a algunos de respuesta) tenga en cuenta que todos los coeficientes de $\mathbb{Z}[i]$ son finitos.

Edición 2. Por favor, también tenga en cuenta que esta fue una pregunta de un (avanzado) de pregrado libro y solo se requieren habilidades básicas para resolver (UFD, PID, euclides de dominio, etc).

Solución. Marwalix proporcionado un enlace a algunos (muy) interesante documento de la solución de la cuestión. Para los interesados, aquí es un boceto de esta simple prueba:

• el número de $n(z)$ de los elementos de la $\mathbb{Z}[i]/(z)$ $\mathbb{Z}[i]/(\bar{z})$ es el mismo
• el número de elementos en $\mathbb{Z}[i]/(z\bar{z})$ $N(z)^2$ (que se puede ver fácilmente como $z\bar{z}$ es un número entero).
• también, $n(z)$ es una función multiplicativa de $z$, por lo que tenemos

$$|\mathbb{Z}[i]/(z\bar{z}) | = |\mathbb{Z}[i]/(z)| \times |\mathbb{Z}[i]/(\bar{z})|$$

Por lo tanto, $n(z)n(\bar{z}) = n(z\bar{z}) = N(z)^2$, que yelds la conclusión.

Answer 1

Mira teorema 7.14 en el enlace de abajo http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/ugradnumthy/Zinotes.pdf