Tengo el siguiente sistema
$$ \left\{ \begin{array}{c} 5x+20y+11z \equiv 13 \pmod{34}\\ 16x+9y + 13z \equiv 24\pmod{34} \\ 14x+15y+15z \equiv 10\pmod{34} \end{array} \right. $$
Todavía soy bastante nuevo en esto, así que me gustaría que alguien verificara mi solución.
En primer lugar, he multiplicado las ecuaciones $2$ y $3$ por $5$ es una transformación regular porque $5$ y $34$ son coprimos. Después, el coeficiente junto a $x$ en la segunda ecuación es $80$ y el coeficiente de $x$ en la tercera ecuación es $70$ ambos son múltiplos de 5, por lo que podemos eliminarlos utilizando la primera ecuación.
Por lo tanto, obtenemos $$ \left\{ \begin{array}{c} 5x+20y+11z \equiv 13 \pmod{34}\\ -275y -111z \equiv -88\pmod{34} \\ -245y-161z \equiv -198\pmod{34} \end{array} \right. $$
A continuación, multipliqué la tercera ecuación por $55$ . Es una transformación regular porque $55$ y $34$ son coprimos. El coeficiente de $y$ en la tercera ecuación es $-13475$ que es múltiplo de $-275$ por lo que podemos eliminarla multiplicando la segunda ecuación por $-49$ y añadiéndolo a la tercera ecuación.
Ahora nos queda
$-3416 \equiv -6578\pmod{34}$ . Si multiplicamos esta ecuación por $-1$ y reducimos los coeficientes (porque son mayores que el módulo) obtenemos $$16z \equiv 16\pmod{34}$$
Tenemos dos soluciones típicas, $z=1$ , $z=18$ .
Ahora, procedí a introducir ambos valores de $z$ gradualmente y tengo dos soluciones:
$x \equiv 22\pmod{34}$ , $y \equiv 15\pmod{34}$ , $z \equiv 1\pmod{34}$
y
$x \equiv 5\pmod{34}$ , $y \equiv 32\pmod{34}$ , $z \equiv 18\pmod{34}$
NOTA : He omitido el proceso de enchufar ambos valores de $z$ una a una en las ecuaciones porque estoy bastante seguro de saber cómo proceder a partir de ahí. Me interesa saber si mi método de reducir el sistema a una ecuación con una variable es correcto o no.
Gracias.
EDITAR : Tras introducir ambos conjuntos de soluciones, obtengo que ambos conjuntos satisfacen las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ pero en ambos casos de soluciones consigo que la tercera ecuación acabe siendo $4 \equiv 10\pmod{34}$ que es falso. ¿En qué me he equivocado?
