Sistema de tres congruencias lineales con tres variables

Question

Tengo el siguiente sistema

$$\left\{ \begin{array}{c} 5x+20y+11z \equiv 13 \pmod{34}\\ 16x+9y + 13z \equiv 24\pmod{34} \\ 14x+15y+15z \equiv 10\pmod{34} \end{array} \right.$$

Todavía soy bastante nuevo en esto, así que me gustaría que alguien verificara mi solución.

En primer lugar, he multiplicado las ecuaciones $2$ y $3$ por $5$ es una transformación regular porque $5$ y $34$ son coprimos. Después, el coeficiente junto a $x$ en la segunda ecuación es $80$ y el coeficiente de $x$ en la tercera ecuación es $70$ ambos son múltiplos de 5, por lo que podemos eliminarlos utilizando la primera ecuación.

Por lo tanto, obtenemos $$\left\{ \begin{array}{c} 5x+20y+11z \equiv 13 \pmod{34}\\ -275y -111z \equiv -88\pmod{34} \\ -245y-161z \equiv -198\pmod{34} \end{array} \right.$$

A continuación, multipliqué la tercera ecuación por $55$ . Es una transformación regular porque $55$ y $34$ son coprimos. El coeficiente de $y$ en la tercera ecuación es $-13475$ que es múltiplo de $-275$ por lo que podemos eliminarla multiplicando la segunda ecuación por $-49$ y añadiéndolo a la tercera ecuación.

Ahora nos queda

$-3416 \equiv -6578\pmod{34}$ . Si multiplicamos esta ecuación por $-1$ y reducimos los coeficientes (porque son mayores que el módulo) obtenemos $$16z \equiv 16\pmod{34}$$

Tenemos dos soluciones típicas, $z=1$ , $z=18$ .

Ahora, procedí a introducir ambos valores de $z$ gradualmente y tengo dos soluciones:

$x \equiv 22\pmod{34}$ , $y \equiv 15\pmod{34}$ , $z \equiv 1\pmod{34}$

y

$x \equiv 5\pmod{34}$ , $y \equiv 32\pmod{34}$ , $z \equiv 18\pmod{34}$

NOTA : He omitido el proceso de enchufar ambos valores de $z$ una a una en las ecuaciones porque estoy bastante seguro de saber cómo proceder a partir de ahí. Me interesa saber si mi método de reducir el sistema a una ecuación con una variable es correcto o no.

Gracias.

EDITAR : Tras introducir ambos conjuntos de soluciones, obtengo que ambos conjuntos satisfacen las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ pero en ambos casos de soluciones consigo que la tercera ecuación acabe siendo $4 \equiv 10\pmod{34}$ que es falso. ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Eliminando las notaciones aritméticas modulares, podemos reescribir el sistema de congruencia lineal como un sistema de ecuaciones lineales diofánticas,

$$\begin{cases} 5x + 20 y + 11 z - 13 = 34a \\ 16x + 9y + 13z - 24 = 34b \\ 14x + 15y + 15z - 10 = 34c \end{cases}$$

Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene

$$\begin{cases} 103x = 1205 + 1020 a + 2295 b - 2737 c \\ 103y = 770 + 986 a + 1343 b - 1887 c \\ 103c = -1826 - 1938 a - 3485 b + 4675 c \end{cases}$$

Tomar módulo $34,$

$$\begin{cases} x& \equiv 15 + 17b - 17c \pmod{34} \\ y &\equiv 22 + 17b - 17c \pmod{34} \\ z & \equiv 10 - 17b + 17c \pmod{34} \end{cases}$$

Multiplica ambos lados por $2,$

$$\begin{cases} 2 x & \equiv30 \pmod{34} \\ 2 y & \equiv 44 \pmod{34} \\ 2 z & \equiv 20\pmod{34} \\ \end{cases} \quad \implies \quad \begin{cases} x & \equiv 15 \pmod{17} \\ y & \equiv 5 \pmod{17} \\ z & \equiv 10 \pmod{17} \\ \end{cases}$$

Así,

• $x \bmod {34} = 15$ o $32.$
• $y \bmod {34} = 5$ o $22.$
• $z \bmod {34} = 10$ o $27.$

Así que tenemos que probar para $2^3= 8$ posibles trillizos de $(x,y,z)$ para sustituir en el sistema original de congruencia lineal. El ensayo y error muestra que sólo dos de tales tripletas satisfacen las tres congruencias lineales:

$$\boxed{\begin{cases} x \bmod{34} = 15 \\ y \bmod{34} = 22 \\ z \bmod{34} = 10 \\ \end{cases} \quad \text{ and } \quad \begin{cases} x \bmod{34} = 32\\ y \bmod{34} = 5\\ z \bmod{34} = 27 \\ \end{cases}}$$