Demostrar que 3 enunciados de conjuntos son equivalentes

Question

Sea $A$ y $B$ sean conjuntos (no vacíos) y $f:A\rightarrow B$ . Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

a) $f$ es uno a uno.

b) Existe una función $g:B\rightarrow A$ que satisfaga $(g \circ f)=I_A$ .

c) Si $h:C\rightarrow A$ y $k:C\rightarrow A$ satisfacer $(f \circ h)=(f \circ k)$ entonces $h=k$ .

Disculpas de antemano si mi formato no es el ideal. Nota "o"=composición

¡¡Gracias!!

Answer 1

A) $\implies$ b)

Desde $f: A \to B$ es un uno a uno, es una biyección sobre su imagen. Por lo tanto, existe una inversa $h: f(A) \to A$ . Elija un punto $x \in A$ . Defina $g: B \to A$ por

$$ g(y) = \begin{cases} h(y) && y \in f(A) \\ x && \mbox{else} \end{cases} $$

Entonces $g\circ f = I_A$ .

Respuesta de Izquierda Inversa: Análisis de la inyectividad

b) $\implies$ c)

Supongamos que tenemos $f\circ h = f\circ k$ . Entonces, aplicando $g$ de b) a ambos lados, obtenemos $$g \circ f\circ h = g\circ f\circ k$$ $$h = k$$

c) $\implies$ a)

Supongamos que $f(a) = f(b)$ con $a \neq b$ . Entonces defina $k,h: A \rightarrow A$ con $$k(x) := \begin{cases} b &&x=a \\ a &&x = b\\ x &&\mbox{ else}\end{cases}.$$ Tome por $h:= I_A$ . Entonces tenemos $f\circ k =f \circ h$ pero $f \neq h$ .

Respuesta de: ¿Cómo demostrar que los monos son inyectivos?