Probar o refutar una afirmación sobre continuidad y límites

Question

Así que he pasado un par de horas tratando de encontrar un ejemplo contrario a esta afirmación, y luego se dio por vencido y pasó horas adicionales tratando de probarlo y Ive finalmente se sintió frustrado con este problema. :) Parece que me quedo atascado en el escenario en el que $f\left(\frac{1}{x}\right)$ < 0, simplemente soy incapaz de encontrar un épsilon que satisfaga todas las condiciones.. además ya ni siquiera estoy seguro de si la afirmación es verdadera o falsa..

Answer 1

Tome el límite en su desigualdad como $x \to 1$ lo que da $$ \lim_{x \to 1} f(x) f(1/x) = f(1)^2 \leq 0, $$ donde la igualdad utiliza la continuidad de $f$ en $1$ . Como un cuadrado es no negativo, la única posibilidad que queda es $f(1) = 0$ .