$X \subset \mathbb{R}^n$ delimitado $\implies f(X)$ está limitado

Question

Sea $f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ es contínua. Si $X \subset \mathbb{R}^m$ está acotada, entonces $f(X)$ está limitada.

Esta pregunta se ha hecho antes, pero sólo para un ''conterexemple'', ahora he tratado de probar, pero no sé si es correcto.

Mi intento:

Demostraré que si $X$ está acotada, entonces $\overline{X}$ está limitada.

De hecho, desde $X$ está acotada, entonces $\Vert x \Vert \leq K$ para todos $x \in X$ .

Ahora defina $g: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g(x) = \Vert x \Vert$ para todos $x \in \mathbb{R}^m$ . Sea $x \in \overline{X}$ entonces $x = \lim x_n$ donde $x_n \in X$ .

Desde $g$ es continua, tenemos $\Vert x \Vert = g(x)= \lim g(x_n) = \lim \Vert x_n \Vert \leq \lim K = K$

$\Rightarrow \Vert x \Vert \leq K$ para todos $x \in \overline{X}$ . Además $f(\overline{X})$ es compacto porque $f$ es contínua y hemos demostrado que $\overline{X}$ es compacto, esto implica que $f(\overline{X})$ limitado.

Así que tenemos, $X \subset \overline{X} \Rightarrow f(X) \subset f(\overline{X})$ y concluimos que $f(X)$ está limitada.

¿Esa prueba es correcta? Si es así, ¿hay una manera más fácil de demostrarlo?