$E(x)= |x|-|x+1|+|x+2|-|x+3|+\dots+|x+2016|$ . Hallar el valor mínimo de $E$ .

Question

¿Puede alguien ayudarme a encontrar el valor mínimo de la siguiente expresión? $$ E(x)= |x|-|x+1|+|x+2|-|x+3|+\dots+|x+2016| $$ donde $x$ es un número real.

Answer 1

1) Si $x \geq 0$ :

$E(x) = (|x| - |x+1|) + (|x+2| - |x+3|) + ... + (|x + 2014| - |x+2015|) + |x + 2016| = \frac{2016}{2}(|x| - |x+1|) + |x + 2016|,$

desde $\forall x \in [0, \infty) \hspace{.2cm} (|x| - |x+1|) = (|x+2| - |x+3|) = ... = (|x + 2014| - |x+2015|) = -1$ .

Es decir $x \geq 0 \Rightarrow E(x) = 1008 \times (-1)+ |x + 2016| \Rightarrow\underset{x \in [0, \infty)} \min E(x) = E(0) = 1008.$

2) Si $ x \leq - 2015 $ :

$E(x) = (|x| - |x+1|) + (|x+2| - |x+3|) + ... + (|x + 2014| - |x+2015|) + |x + 2016| = \frac{2016}{2}(|x| - |x+1|) + |x + 2016|,$

$\forall x \in (-\infty, -2015] \hspace{.2cm} (|x| - |x+1|) = (|x+2| - |x+3|) = ... = (|x + 2014| - |x+2015|) = -1$ .

Es decir $x \geq 0 \Rightarrow E(x) = 1008 + |x + 2016| \Rightarrow \underset{x \in (-\infty, -2015]} \min E(x) = E(-2016) = 1008.$

3) Si $- 2015 < x < 0$ :

$\forall n \in \{1,...,2016\} \hspace{.2cm} n+1 <|x| \Rightarrow |x + n| = |x| - n \wedge |x + n + 1| = |x| - n - 1$ Es decir $|x + n| - |x + n + 1| = 1. $ (i)

Siguiendo la misma lógica:

$\forall n \in \{1,...,2016\} \hspace{.2cm} n >|x| \Rightarrow |x + n| = n - |x| \wedge |x + n + 1| = n + 1 - |x|$ Es decir $|x + n| - |x + n + 1| = -1. $ (ii)

3.1) Si $- 2015 < x < 0 \wedge \lceil x \rceil$ - incluso:

$ \lceil x \rceil := k$ $\Rightarrow x \in [k, k-1]$ .

$\forall n < |k| \hspace{.2cm} k-even \Rightarrow n+1 < k. \hspace{.2cm}$ Aquí (i) implica $|x+n|−|x+n+1|=1.$ Es decir, hay $\frac{k}{2}$ términos en $E(x)$ que se comportan como en 2).

$n = k \hspace{.2cm} \Rightarrow |x+n| = |x| - k \wedge |x+ n + 1| = k + 1 - |x|.\hspace{.2cm}$ Aquí $ |x+n|−|x+n+1| = |x| - k - (k + 1 - |x|) = 2(|x| - k) - 1 =:r.\hspace{.2cm}$ . $k - even \Rightarrow r \in [-1, 1).\hspace{.2cm}$ En comparación con 2), este término es menor.

$\forall n > |k| \hspace{.2cm} \wedge n-even \hspace{.2cm}$ (ii) se aplica. Así pues $|x+n|−|x+n+1|=-1.$ Existen $1008 - 1- \frac{k}{2}$ términos en $E(x)$ que cambian de signo en comparación con 2).

Así, para k - par que tenemos: $E(x) = \frac{k}{2} \times 1 + r + (1007- \frac{k}{2}) \times (-1) +|x+2016|= |x+2016| + k-1007+r = 2016 - k - (|x| - k) + k - 1007 + r = 1009 + \frac{r}{2} \geq 1008,$

donde $|x| = k \Leftrightarrow E(x) = 1008.$

3.2) Si $- 2015 < x < 0 \wedge \lceil x \rceil$ - impar:

$ n \leq k - 3 \hspace{.2cm} \wedge n-even \hspace{.2cm} \Rightarrow |x+n|−|x+n+1|=1 \hspace{.1cm}$ por (i) . Así, hasta |x+(k-3)|-|x+(k-2)| inclusive, todos los términos se comportan como en 2). Hay un total de $\frac{k-1}{2}$ tales términos.

$ n > k \hspace{.2cm} \wedge n-even \hspace{.2cm} \Rightarrow |x+n|−|x+n+1|=-1 \hspace{.1cm}$ por (ii) . A partir de |x+ k + 1|-|x+k+2| todos los términos cambian de signo. Hay un total de $1008 - \frac{k+1}{2}$ tales términos.

$ n = k-1 \Rightarrow \hspace{.1cm} |x+n| = |x+(k-1)| = |x| - (k-1) \wedge |x+n+1| = |x+k| = |x| - k \hspace{.1cm} \Rightarrow |x+n| - |x+(k-1)| = 1.$ En total hay $1008 - \frac{k+1}{2}$ términos que cambian de signo en comparación con 2) y $\frac{k+1}{2}$ que no lo hacen.

Así, para k - impar que tenemos: $E(x) = \frac{k+1}{2} \times 1 + (1008 - \frac{k+1}{2}) \times (-1) + |x + 2016| = 2016 -|x| - 1008 + k+1 = 1009 - |x|+ k+1 = 1008 + k+1-|x| \geq 1009.$

Es decir $\underset{x \in \mathbb{R}}\min E(x) = 1008. \underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}} E(x) = \{-2k| k \in \{0, ... 1008\}\}$

Answer 2

Si observa el gráfico de $E(x)= |x|-|x+1|+|x+2|-|x+3|+\dots+|x+n|$ se puede observar que si $n$ es par (nuestro caso), entonces la gráfica de $E(x)$ es simétrica a la recta $x=-\frac{n}{2}$ . De hecho, aquí el gráfico de $E(x)= |x|-|x+1|+|x+2|-|x+3|+|x+4|$ :

Para encontrar el valor mínimo tengo que poner $x\geq0$ así que..: $$E(x)= |x|-|x+1|+|x+2|-|x+3|+\dots+|x+2016|=x-x-1+x+2-x-3+\dots+x+2016$$ Quitando los valores absolutos, obtengo: $2+4+\cdots+2016-(1+3+5+\cdots+2015)=A-B$ . Ahora tengo dos series aritméticas; sus valores son: $A=\frac{2016}{2}\cdot(4+1007\cdot2)=1008\cdot2018$ y $B=\frac{2016}{2}\cdot(2+1007\cdot2)=1008\cdot2016$ .

Ahora obtengo: $A-B=1008\cdot2018-1008\cdot2016=1008\cdot2=2016$ .

Espero que te haya ayudado...

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\begin{align}E(x+2)&=|x+2|-|x+3| \mp\cdots+|x+2016|-|x+2017|+|x+2018|\\&=E(x)-|x|+|x+1|-|x+2017|+|x+2018|\end{align} $$ y $$|x+1|-|x|=\begin{cases}1&x\ge 0\\-1&x\le -1\\2x+1&-1\le x\le0\end{cases} $$ $$|x+2017|-|x+2018|=\begin{cases}1&x\ge -2017\\-1&x\le -2018\\2(x+2017)+1&-2018\le x\le2017\end{cases} $$ De esto, $$\tag1E(x+2)\le E(x) \qquad \text{for }x\le -1$$ $$\tag2E(x+2)\ge E(x) \qquad \text{for }x\ge -2017$$ de modo que el mínimo de $E$ en el intervalo $[-2017,-1]$ (que existe porque $E$ es continua y el intervalo es compacto) es también el mínimo global de $E$ . Combinación de $(1)$ y $(2)$ , $$\tag3E(x+2)= E(x) \qquad \text{for }-2017\le x\le -1$$ de modo que podamos buscar el mínimo en cualquier intervalo de longitud $2$ en $[-2017,-1]$ por ejemplo en $[-3,-1]$ . Allí, $$ E(x)=|x|-|x+1|+|x+2|-(x+3)+(x+4)\mp\cdots+(x+2016)=|x|-|x+1|+|x+2|+const$$ y el resto es fácil.

Answer 4

Llamando a $f(x) = |x|-|x+1|$ tenemos

$$ E_n(x) = \sum_{k=0}^{k=n}f(x+2k) $$

y

$$ -(n+1) \le E_n(x) \le n+1 $$