¿Se pierden soluciones al diferenciar para resolver una ecuación integral?

Question

La pregunta es más general, pero he aquí el problema que la motivó: Quiero encontrar todas las soluciones de la ecuación integral

$$f(x) + \int_0^x (x-y)f(y)dy = x^3.$$

Diferenciando dos veces con respecto a x se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden

$$f''(x) + f(x) = 6x.$$

La solución a esta última ecuación es algo así como $f(x) = A \cos(x + \phi) + f_p$ donde $f_p$ puede encontrarse mediante la variación de parámetros u otras herramientas y $A, \phi$ vienen determinados por los valores iniciales.

Sin embargo, lo que quiero saber es si estoy teniendo en cuenta todas las soluciones. ¿No "pierdo información" al diferenciar la ecuación original? Si es así, ¿cómo puedo construir todas las soluciones a partir de las que acabo de encontrar?

Answer 1

Es al revés: cuando se diferencian ambos lados de una ecuación, hay que preocuparse por creación de soluciones. Esto se debe a que $f'(x)=g'(x)$ sólo implica $f(x)=g(x)+c$ para algunos $c$ . Así que cualquier solución al IE satisfará al DE pero no al revés.

En efecto, el IE lleva incorporadas las condiciones de contorno, lo que no ocurre con el DE. Esto no es totalmente obvio, así que vamos a recorrer a través de su ejemplo.

Sustituir $x=0$ en el IE original para ver $f(0)=0$ . Diferenciar una vez para obtener

$$f'(x)+\int_0^x f(y) dy=3x^2$$

y luego sustituir $x=0$ para obtener $f'(0)=0$ . Así pues, la IE* implica la EDO IVP $f''(x)+f(x)=6x,f(0)=0,f'(0)=0$ que tiene una solución única, como probablemente ya sepa.

Para ver si el IVP de la ODE implica el IE, se ejecuta el procedimiento a la inversa:

$$\int_0^x f''(y) + f(y) dy = \int_0^x 6y dy \\ f'(x)-f'(0)+\int_0^x f(y) dy = 3x^2.$$

Utiliza la condición inicial:

$$f'(x)+\int_0^x f(y) dy = 3x^2.$$

Ahora te integras de nuevo:

$$\int_0^x f'(y) dy + \int_0^x \int_0^y f(z) dz dy = \int_0^x 3y^2 dy \\ f(x)-f(0) + \int_0^x \int_0^y f(z) dz dy = x^3.$$

Utiliza la otra condición inicial:

$$f(x)+\int_0^x \int_0^y f(z) dz dy = x^3.$$

Esto parece diferente del original, pero en realidad es lo mismo. Una forma de hacer que parezca lo mismo es utilizar la integración por partes junto con las condiciones iniciales en la integral externa del segundo término. Otra forma es intercambiar el orden de integración; después del intercambio puedes simplemente hacer la integral interna $dy$ integral ya que $f(z)$ no depende de $y$ . El hecho de que ambos funcionen es algo bastante general, cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integration_(calculus)#Relación_con_la_integración_por_partes

* Técnicamente necesitas el IE y un $C^2$ para realizar este cálculo. El atajo que se me ocurre para conseguir este supuesto de regularidad es suponerlo de entrada, comprobar que la solución que se obtiene tiene la regularidad deseada (que la tiene) y luego estudiar la teoría general de unicidad del IE (que en este caso es la alternativa de Fredholm) para concluir que no se ha pasado por alto ninguna solución irregular.

Answer 2

Algo que creo que las matemáticas de bachillerato no explican muy claramente es la teoría de las soluciones extra/faltantes. Digamos que tenemos ecuaciones $(1)$ y $(2)$ . Si $(1)\rightarrow (2)$ es decir $(\text{x satisfies (1)})\rightarrow(\text{x satisfies (2)})$ por lo que toda solución de $(1)$ también será una solución de $(2)$ . Sin embargo, $(1)\rightarrow (2)$ hace no garantizar que cada solución de $(2)$ será una solución de $(1)$ . Así que cuando usted tiene una cadena de equivalente cada solución de la ecuación final será una solución de la ecuación original. Cuando se tiene una cadena de implicación puede tener soluciones extrañas. Para perder soluciones, tienes que tener una situación en la que $(2)\rightarrow (1)$ es decir, su ecuación posterior es suficiente, pero no necesaria, para que la ecuación inicial sea cierta. Por ejemplo, si se pasa de $x^2=y^2$ a $x=y$ la primera ecuación es consecuencia de la segunda, pero la segunda no se deduce necesariamente de la primera.

En tu caso, estás diferenciando. Si la ecuación $(1)$ es $y=f(x)$ y ecuación $(2)$ es $y'=f'(x)$ tenemos $(1)\rightarrow(2)$ (si dos funciones son iguales, sus derivadas también lo son), pero no tenemos $(2)\rightarrow(1)$ (es decir, si dos derivadas son iguales, eso no significa que las funciones originales fueran iguales). Así, por ejemplo, si tenemos $f(x) = x+1$ y tomar la derivada de ambos lados, se obtiene $f'(x) = 1$ y $f(x)=x$ es una solución de la segunda ecuación, pero no de la primera.

En efecto, al diferenciar se pierde información, pero perder información significa que se está consiguiendo más soluciones, no menos. Cuanta más información tenga, más posibilidades podrá eliminar. Si conoce $y=x+1$ , hay algunos pares ordenados que puedes eliminar (por ejemplo, tú que (1,0) no es una solución). Si además sabes que $2y=3x$ entonces puede eliminar más pares ordenados. Recuerda que las ecuaciones no descartan soluciones, sólo descartan soluciones.