ecuaciones de recurrencia. resolver la ecuación

Question

Resuelve la siguiente ecuación de recurrencia

$a_0=0, a_1=7$ y $$a_n=\frac{1}{3}a_{n-1}+\frac{4}{3}a_{n-2}, n\geq2$$ He intentado utilizar el método general, sin embargo estoy recibiendo lo mismo que $a_n$ ya. Estoy tomando esta clase como un estudio independiente por lo que básicamente estoy enseñando a mí mismo.

Answer 1

La ecuación característica es $x^2-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}=0$ que podemos reescribir como $(3x-4)(x+1)=0$ .

Por tanto, la solución general es $a_n=A(4/3)^n +B(-1)^n$ donde $A$ y $B$ son constantes. Utiliza las condiciones iniciales para hallar $A$ y $B$ .

Answer 2

Desde $x^2-\frac 13x-\frac 43=0\Rightarrow x=-1,\frac 43$ tenemos $$a_{n+1}+a_n=\frac 43\left(a_{n}+a_{n-1}\right)=\cdots=\left(\frac 43\right)^{n}(a_1+a_0),$$ $$a_{n+1}-\frac 43a_n=-\left(a_n-\frac 43a_{n-1}\right)=\cdots=(-1)^n\left(a_1-\frac 43a_0\right).$$ A continuación, reste la segunda de la primera para obtener $a_n$ .