Cálculo de órbitas de clases de conjugación en GAP.

Question

Tengo un grupo de extensión $G=N{.}Q$ , $N$ noabeliano. ¿Cómo puedo calcular las órbitas de $Q$ en las clases de conjugación de $N$ en GAP? Por ejemplo, tomemos G= $S_5=A_5{:}2$ . La entrada Gap "Orbits $(2,A_5)$ dará 33 órbitas de $C_2$ sobre los elementos de $A_5$ . ¿Cómo puedo calcular las órbitas de $C_2$ sobre las clases de $A_5$ en GAP?

Answer 1

Suponiendo que tenga el grupo $G$ dado concretamente con un subgrupo normal $N$ podría hacerlo definiendo su propia función para la acción (estas funciones siempre toman un elemento $\omega$ del dominio y un elemento del grupo $g$ y devolver $\omega^g$ :

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
  return ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
end;

Con esto, puedes calcular las órbitas como de costumbre. En tu ejemplo:

gap> G:=SymmetricGroup(5);;
gap> N:=DerivedSubgroup(G);;
gap> cl:=ConjugacyClasses(N);
[ ()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
gap> OrbitsDomain(G,cl,OnConjugacyClasses);
[ [ ()^G ], [ (1,2)(3,4)^G ], [ (1,2,3)^G ], [ (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
 ]

Si lo intenta para grupos más grandes, podría ser más rápido, transferir también información sobre el centralizador del representante, si se conoce:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
local cl;
  cl:=ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
  if HasStabilizerOfExternalSet(class) then
    SetStabilizerOfExternalSet(cl,StabilizerOfExternalSet(class)^g);
  fi;
  return cl;
end;