Sea $A$ sea una categoría abeliana con suficientes proyectivos. Construimos una resolución proyectiva de un objeto C como sigue: puesto que $A$ tiene suficientes proyectivos tenemos un epimorfismo de un objeto proyectivo $P^0$ en C. $$ denota su núcleo. Dado $^{i}$ tomar un epimorfismo $P^i$ --> $^{i}$ y que $^{i+1}$ denota su núcleo. Uniendo estas secuencias cortas exactas obtenemos una resolución proyectiva de C. Me cuesta entender por qué la secuencia "pegada" es exacta en cada posición.
Respuesta
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Isaac
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Como usted dice, dado $A\in\text{Ob}(\mathcal{A})$ , $\mathcal{A}$ es una categoría abeliana con suficientes proyectivos, se construye una resolución de $A$ considerando secuencias exactas cortas de la forma $$0 \to \Omega^{i+1}(A)\to P^{i}\to \Omega^{i}(A)\to 0,$$ donde $P^{i}$ es proyectivo y $\Omega^{0}(A)=A$ y pegándolas: el mapa $\phi^{i}:P^{i}\to P^{i-1}$ es la composición $$P^{i}\to \Omega^{i}(A)\to P^{i-1}.$$ El núcleo de este mapa es $\Omega^{i+1}(A)$ y la imagen es $\Omega^{i}(A)$ por construcción. Por lo tanto, si se tiene la secuencia $$P^{i+1}\xrightarrow{\phi^{i+1}}P^{i}\xrightarrow{\phi^{i}} P^{I}$$ tienes $\text{im}(\phi^{i+1}) = \Omega^{i+1}(A)$ y $\text{ker}(\phi^{i})=\Omega^{i+1}(A)$ por lo que la secuencia es exacta. En particular, la resolución es exacta en cada punto.
