¿La proyección ortonormal contrae el producto interior?

Question

Me pregunto si una proyección ortonormal $P^2=P$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ contrae su producto interior, es decir

$\langle PW,V \rangle \leq \langle W,V \rangle $

para cada par de elementos $W,V \in \mathcal{H}$ ?

Answer 1

No necesariamente. Usted podría tener $(W, V)=0$ y $(PW, V)\ne 0$ por ejemplo. Considere en $\mathbb{R}^2$ los vectores $W=(-1, 1), V=(1, 1)$ y el proyector $$P(x, y)=(x, 0).$$

Answer 2

Si escribe $W$ como $PW + (1-P)W$ la respuesta parece depender de si $\langle (1-P)W, V \rangle$ es positivo o no, y dependería de la situación.