Considere la ampolleta de la lámpara de su velador. Asuma que el número de veces que se enciende la ampolleta es un Proceso de Poisson a tasa λ. Suponga que la ampolleta se quema solo por un aumento de la intensidad de la corriente al momento de encenderla. Asuma que la intensidad de la corriente que llega a la ampolleta es una v.a. con distribución F. Asuma que las intensidades de las sucesivas encendidas son independientes entre sí, y que, al momento de encenderla, la ampolleta se quema si la intensidad es . Sea T el tiempo hasta que se quema la ampolleta. Obtenga la densidad de probabilidades del tiempo hasta que se quema la ampolleta. (Indicación: calcule Pr{ T > x } )
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Jimmy Neutron
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Para obtener la densidad de probabilidades del tiempo hasta que se quema la ampolleta, necesitamos calcular la probabilidad de que la ampolleta no se queme antes de un tiempo dado x.
La probabilidad de que la ampolleta no se queme antes de un tiempo x está dada por la función de supervivencia del proceso de Poisson. La función de supervivencia está dada por:
Pr{ T > x } = exp(-λ * x)
Donde λ es la tasa del proceso de Poisson.
Por lo tanto, la densidad de probabilidades del tiempo hasta que se quema la ampolleta está dada por la derivada de la función de supervivencia:
f(x) = d/dx [Pr{ T > x }] = d/dx [exp(-λ x)] = -λ exp(-λ * x)
Por lo tanto, la densidad de probabilidades del tiempo hasta que se quema la ampolleta es -λ exp(-λ x).
