Pregunta de parabola

Question

Para la parábola y²=4x, AB y CD son dos cuerdas paralelas cualesquiera con pendiente 1. C1 es una circunferencia que pasa por O, A y B y C2 es una circunferencia que pasa por O, C y D, donde O es el origen. ¿C1 y C2 se intersecan en -?

Sé que si A(t1) y B(t2) son puntos de la parábola con pendiente 1 entonces t1+t2=2, pero no entiendo qué propiedad se usa en la solución donde simplemente suman t1+t2+t5=0 para hallar la respuesta. Por favor, vea la imagen adjunta de la solución .

Answer 1

Sea $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ sea la ecuación de un círculo genérico. Enchufando ahí $x=t^2,\ y=2t$ obtenemos la ecuación de las intersecciones entre el círculo y la parábola: $$ t^4+(4+2g)t^2+4ft+c=0. $$ En el caso del círculo $C_1$ sabemos que esta ecuación tiene tres soluciones reales $(t_1,t_2,0)$ por lo que también tiene una cuarta solución real, llamémosla $t_5$ . La suma de estas soluciones es la inversa del coeficiente de $t^3$ en la ecuación, que en nuestro caso es evanescente. Por lo tanto: $$ t_1+t_2+0+t_5=0 $$ y se puede hacer un razonamiento análogo para el círculo $C_2$ .