Regla de multiplicación básica frente a probabilidad condicional

Question

Estoy estudiando viejos problemas de probabilidad y tratando de interpretarlos de distintas maneras para poner a prueba mi comprensión. Dada la información en este problema:

• probabilidad de que haga viento = .2
• Probabilidad lluvia en día ventoso = .3
• Probabilidad lluvia en día no ventoso = .8

Preguntas: ¿Cuál es la probabilidad de que un día haga viento y llueva?

Entiendo que $P(Wind \wedge Rain) = P(W)P(R|W)$ interpretando la probabilidad condicional como una reducción del espacio de resultados. Como me dan la probabilidad de que haga viento, pensé que podía condicionarla así:

$ P(WR) = P(WR | W) = P(W|W) P(R|W) = $ respuesta anterior

¿Es esta interpretación útil o incluso exacta? Parece dar la misma respuesta, pero esta parte del enunciado me molesta $P(WR) = P(WR | W)$ .

Gracias.

Answer 1

" $P(WR) = P(WR | W) = P(W|W) P(R|W) =$ la respuesta anterior" no es exacta

• La primera igualdad pretende decir que la probabilidad de viento y lluvia es la probabilidad de viento y lluvia dado el viento . Esto no es correcto, ya que ignora la posibilidad de que no haya viento. Una afirmación mejor podría ser $P(WR) = P(WR \mid W) P(W)$

• La segunda igualdad pretende decir que la probabilidad de viento y lluvia dado el viento es la probabilidad de viento dado el viento multiplicada por la probabilidad de lluvia dado el viento . Esto es correcto pero no es particularmente informativo

• La tercera igualdad pretende decir que la probabilidad de viento dado el viento multiplicada por la probabilidad de lluvia dado el viento es la probabilidad de viento multiplicada por la probabilidad de lluvia dado el viento . Esto no es correcto ya que $P(W \mid W)=1 \not = 0.2 = P(W)$

$P(WR) = P(W)P(R\mid W)$ es un enunciado básico de probabilidad condicional y te da la respuesta ya que sabes $P(W)=0.2$ y $P(R\mid W)=0.3$

Answer 2

Tus instintos te sirven de mucho. Normalmente la notación $P(WR) = P(W \wedge R)$ .

En general, $P(WR) = P(W | R) \cdot P (R) = P(R | W) \cdot P (W)$ . Además, $P(AB|B) = P(A|B)$ desde $B$ ya está dada.

Answer 3

Tenemos que

$$0.3=P(R|W)=\dfrac{P(R\cap W)}{P(W)}=\dfrac{P(R\cap W)}{0.2}\implies P(R\cap W)=0.06.$$