Pregunta
Sea $M$ sea una variedad riemanniana compacta con límites suaves a trozos. ¿Por qué las funciones suaves con derivada normal evanescente son densas en $C^\infty(M)$ dans le $H^1$ ¿Norma?
Aquí defino $C^\infty(M)$ como aquellas funciones que tienen todos los órdenes de derivada continuos en $M$ y suave en su interior. Por ejemplo, $(x\mapsto \sin(\pi x))\in C^\infty([0,1])$ pero $(x\mapsto \sqrt{x})\notin C^\infty([0,1])$ .
Tengo crossposted this to MathOverflow .
Fondo
Esto se inspira en mi creencia de que el dominio de forma de la extensión de Friedrichs del Laplaciano de Neumann en $M$ es igual a $H^1(M)$ . Si mi creencia es errónea, ciertamente aceptaría como respuesta un contraejemplo, preferiblemente con alguna discusión/referencias.
Estos son los enfoques que estoy explorando.
- Dado $u\in C^\infty(M)$ construir una función que se aleje de un $\epsilon$ barrio de $\partial M$ pero se ha modificado para que tenga derivada normal cero. Esto se describe a continuación, pero se encuentra con algunos problemas en las esquinas y con suavizado.
- Dado $u\in C^\infty(M)$ encontrar algunos $\eta$ compatible con un $\epsilon$ barrio de $\partial M$ tal que $\nabla\eta|_{\partial M}$ es igual a la proyección de $\nabla u|_{\partial M}$ en la dirección normal y $\eta$ y $|\nabla\eta|$ uniformemente acotada en $\epsilon$ . Entonces $u - \eta$ será la aproximación deseada y la acotación uniforme implicará $\|u - (u-\eta)\|_{H^1}\to 0$ . No estoy seguro de si se trata de la búsqueda de un campo vectorial armónico integrable o si es un problema de optimización con restricciones.
- Basta con demostrar que cualquier $u\in C^\infty(M)$ que es perpendicular a todas las funciones suaves con derivada normal evanescente debe ser cero. Para ello, creo que sigue tropezando con la misma dificultad fundamental que las demás, que es construir funciones con derivada normal evanescente apoyadas en una $\epsilon$ -de la frontera.
(También me alegra tener simplemente una referencia para hacer un seguimiento. Una referencia para dominios en $\mathbb{R}^n$ también debería estar bien, y a sólo una partición de la unidad de una colector riemanniano).
Enfoque actual
El enfoque que estoy considerando ahora es una elaboración de la posibilidad (2) de mi lista. El esquema es: establecer la condición límite de que $\nabla\eta$ en la frontera sea igual a la componente normal de $\nabla u$ y encontrar un campo vectorial armónico integrable $E$ que satisfaga esa condición de contorno. Entonces se corta $E$ por lo que sólo se admite en una vecindad de $\partial M$ y que $\eta$ para que $E = \nabla\eta$ .
La intuición es que el principio máximo controlará $|E|$ y $|\eta|$ de modo que $\eta$ estará acotada por encima en el $H^1$ norma por una constante multiplicada por el volumen del $\epsilon$ -vecindad de $\partial M$ .
Otro enfoque se inspira en el comentario de zhw a continuación: aproximado $\nabla u$ en $L^2$ campos vectoriales, multiplicarlo por una función de corte para que se apoye en el interior de $M$ y luego integrarlo para aproximar $u$ . Esto debería funcionar con algunos ajustes en $[0,1]$ pero no estoy seguro de que funcione bien en general.
Trabajos antiguos
Mi planteamiento ha sido el siguiente. La intuición es tomar una función suave arbitraria, restringirlo al complemento de un barrio de cuello, a continuación, extender la restricción a la vecindad de cuello para que el valor es constante en geodésicas normales hacia el interior. Sin embargo, me encuentro con problemas en las esquinas.
Sea $\epsilon > 0$ sea tal que $\{p\in M\ |\ d(p,\partial M) < \epsilon\}$ es una vecindad de cuello de $\partial M$ . Sea $e_\epsilon(p)$ para $p\in\partial M$ sea el menor de $\epsilon$ o el mayor parámetro de tiempo tal que la geodésica normal hacia dentro no colisione con ninguna otra geodésica normal hacia dentro. Sea $N$ sea el conjunto de vectores normales interiores en $\partial M$ cuyas longitudes no sean superiores a $e_\epsilon$ . El interior del conjunto $\operatorname{exp}(N)$ está foliado por geodésicas. Editar- Tenga en cuenta que esto no es necesariamente cierto si el colector tiene esquinas hacia el interior.
Dada una función continua y suave $u$ en $M$ definir $\bar{u}$ sea la restricción de $u$ en el complemento de $\operatorname{exp}(N)$ y en cada hoja geodésica del interior de $\operatorname{exp}(N)$ defina $\bar{u}$ para tomar el valor que $u$ asume el límite interior de esa hoja.
Aquí hay problemas. Como $\bar{u}$ no tiene por qué ser suave, me gustaría apaciguarlo. Edit- Tenía un detalle incorrecto. Un molificador estándar produce una función definida en subconjuntos compactos del interior de $M$ . Así que hay que modificar el molificador. Una idea que estoy siguiendo es variar el apoyo de la función molificadora en función de la distancia a $\partial M$ . Soy escéptico, ya que al variar la función de molificación se añadirá otro componente al gradiente, pero si funciona lo publicaré como respuesta.
