Forma cerrada para $\left(1+\left(\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}+\cdots\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2$ ?

Question

Los cuadrados anidados parecen más prometedores que los radicales anidados, ya que dan aproximaciones racionales y, en principio, pueden expandirse en una serie.

Estas dos expresiones convergen numéricamente:

$$\left(1+\left(\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}+\cdots\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2=2.14842827808221794391178636615$$

$$\left(1-\left(\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{4}-\cdots\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2=0.680484597688804927729801584438$$

La búsqueda con ISC, Wolframalpha y OEIS no reveló ninguna forma cerrada para estos números.

¿Es posible que exista una forma cerrada para estos cuadrados anidados y cómo la encontraría?

La definición adecuada para el primer cuadrado anidado es el límite de la secuencia:

$$s_1=1$$

$$s_2=\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^2$$

$$s_3=\left(1+\left(\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^2\right)^2$$

Etc. Lo mismo para el segundo cuadrado anidado.

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Otras dos expresiones (alternas):

$$\left(1+\left(\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}-\cdots\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2=1.27629973953623486796358849410$$

$$\left(1-\left(\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{4}+\cdots\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2=0.462513422693928495067300679614$$

De nuevo, no he encontrado nada sobre estas cifras.

Si conoces alguna referencia sobre cuadrados anidados en general, también sería muy de agradecer.

Answer 1

Utilizando la idea de TylerHG podemos acercarnos a la parte interior (infinito) de la expresión para acelerar la convergencia de las consecuencias. Para la primera secuencia se puede considerar una función $$f(x) = \dfrac1{x+n}+f^2(x+1),\qquad(1)$$ o $$f(x-1) = \dfrac1{x+n-1} + f^2(x).$$ Para $x\in[n-1,n]$ función $f(x)$ puede representarse mediante series de Taylor con suficiente precisión, por lo que $$f(x-1)\approx f(x)-f'(x)+\dfrac{f''(x)}2-\dfrac{f'''(x)}6+\dfrac{f^{(IV)}}{24}(x)-\dfrac{f^{(V)}(x)}{120}+\dfrac{f^{(VI)}(x)}{720}-\dots.$$ Para valores arbitrarios de $x$ conveniente utilizar el tipo de expansión $$f(x)=\dfrac1{x+n-1}\left(1+\dfrac{a_1}{x+n-1}+\dfrac{a_2}{(x+n-1)^2}+\dfrac{a_3}{(x+n-1)^3}+\dfrac{a_4}{(x+n-1)^4}+\dfrac{a_5}{(x+n-1)^5}+\dfrac{a_6}{(x+n-1)^6}+\dots\right),$$ entonces $$f^2(x) = \dfrac1{(x+n-1)^2}\left(1+\dfrac{2a_1}{x+n-1} + \dfrac{2a_2+a_1^2}{(x+n-1)^2} + \dfrac{2a_3+2a_1a_2}{(x+n-1)^3}\\+ \dfrac{2a_4+2a_1a_3+a_2^2}{(x+n-1)^4}+ \dfrac{2a_5+2a_1a_4+2a_2a_3}{(x+n-1)^5} + \dots\right),$$ $$-f'(x)=\dfrac1{(x+n-1)^2}\left(1+\dfrac{2a_1}{x+n-1}+\dfrac{3a_2}{(x+n-1)^2}+\dfrac{4a_3}{(x+n-1)^3}\\+\dfrac{5a_4}{(x+n-1)^4}+\dfrac{6a_5}{(x+n-1)^5}+\dots\right),$$ $$f''(x)=\dfrac1{(x+n-1)^3}\left(2+\dfrac{6a_1}{x+n-1}+\dfrac{12a_2}{(x+n-1)^2}+\dfrac{20a_3}{(x+n-1)^3}\\+\dfrac{30a_4}{(x+n-1)^4}+\dots\right),$$ $$-f'''(x)=\dfrac1{(x+n-1)^4}\left(6+\dfrac{24a_1}{x+n-1}+\dfrac{60a_2}{(x+n-1)^2}+\dfrac1{120}\dfrac{120a_3}{(x+n-1)^3}+\dots\right),$$ $$f^{IV}(x)=\dfrac1{(x+n-1)^5}\left(24+\dfrac{120a_1}{x+n-1}+\dfrac{360a_2}{(x+n-1)^2}+\dots\right),$$ $$-f^{V}(x)=\dfrac1{(x+n-1)^6}\left(120+\dfrac{720a_1}{x+n-1}+\dots\right),$$ $$f^{VI}(x)=\dfrac{720}{(x+n-1)^7}+\dots.$$ Así que tenemos: $$\begin{cases} a_1+1 = 1\\ a_2+2a_1+1 = 2a_1\\ a_3+3a_2+3a_1+1 = 2a_2+a_1^2\\ a_4+4a_3+6a_2+4a_1+1 = 2a_3+a_1a_2\\ a_5+5a_4+10a_3+10a_2+5a_1+1 = 2a_4+2a_1a_3+a_2^2\\ a_6+6a_5+15a_4+20a_3+15a_2+6a_1+1 = 2a_5 + 2a_1a_4+2a_2a_3,\\ a_7+7a_6+21a_5+35a_4+35a_5+21a_1+7a_1+1 = 2a_6 + 2a_1a_5 + 2a_2a_4+a_3^2, \end{cases}$$

de donde $$a_1=0;\quad a_2=-1,\quad a_3=0,\quad a_4=5,\quad a_5=-5,\quad a_6=-41,\quad a_7 = 145,$$ $$f(x)=\dfrac1{x+n-1} - \dfrac{1}{(x+n-1)^3}+\dfrac{5}{(x+n-1)^5}-\dfrac{5}{(x+n-1)^6}+\dfrac{-41}{(x+n-1)^7}+\dfrac{145}{(x+n-1)^8}+\dots.$$

Utilizando la serie obtenida en forma de $$f(n)=\dfrac1n - \dfrac{1}{n^3}+\dfrac{5}{n^5}-\dfrac{5}{n^6}-\dfrac{41}{n^7}+\dfrac{145}{n^8}+\dots.$$ para calcular el suplemento de las fracciones internas (una cantidad infinita) aumento significativo de la convergencia de la secuencia original.

Resultados de las pruebas para%2F8%2B5)%2F64-1)%2F64%2B1)%2F8)%5E2) $n = 8,$ da%5E2)%5E2)%5E2)%5E2)%5E2)%5E2)%5E2) $2.148428280400...,$ y este valor se aproxima al límite $2.148428278082218...$ de primera consecuencia con gran precisión.

Cuando se utilizan los valores n <8 la fórmula resultante es menos precisa, pero más corta.