función con un continuo de entradas (aplicación económica)

Question

En economía, a menudo utilizamos funciones de valor real del tipo siguiente:

$$U (x_1, x_2)$$

$x_1$ et $x_2$ son las cantidades de dos bienes (números reales). Es sencillo trabajar con este tipo de función con un número arbitrariamente finito o contablemente infinito de bienes en lugar de sólo dos. Sin embargo, actualmente estoy realizando una investigación que podría beneficiarse de permitir un continuo de bienes (la economía es así de realista). Para el tipo de aplicación en el que estoy trabajando, es habitual suponer un continuo de bienes con la medida normalizada a $1$ .

En las aplicaciones existentes que implican un continuo de bienes, la gente siempre (que yo sepa) asume que $U$ es separable aditivamente y, por tanto, puede escribirse como una integral. Sin embargo, no quiero suponer separabilidad aditiva. [Por si la separabilidad aditiva es un término que sólo utilizan los economistas, en el ejemplo anterior de los dos bienes, significa que $U (x_1, x_2)$ puede escribirse como $f(x_1)+g(x_2)$ .]

Me preguntaba cómo se llama el tipo de función que busco (si tiene un nombre concreto) y si existen referencias que traten este tipo de objetos. Más concretamente, quería saber la notación que hay que utilizar para escribir una función de este tipo y también ver generalizaciones de resultados de cálculo estándar (por ejemplo, la regla de la cadena) que sean aplicables a estos casos.

Gracias.

Answer 1

Lo que puedes hacer es tomar, para el espacio de haces, el espacio de medidas con signo sobre, digamos, $[0,1]$ con el Borel $\sigma$ -(este conjunto tiene medida de Lebesgue $1$ ). La función de utilidad puede ser entonces una función lineal (o cóncava) en este espacio de medidas. Esto generaliza el caso de los bienes finitos. Un elemento de $\mathbb{R}^n$ es una medida con signo sobre el conjunto finito $\{ 1,\cdots, n\}$ .

Si su utilidad es lineal en los paquetes, es decir, los bienes son sustitutos perfectos, entonces puede ser simplemente una función medible $f$ en $[0,1]$ : si $\mu$ es un haz,

$$ U(\mu) = \int f d \mu. $$

Sustitutos perfectos en $\mathbb{R}^n$ es de nuevo un caso especial. Esto es esencialmente lo que se hace en la teoría del consumidor con incertidumbre. En este caso, los paquetes son medidas de probabilidad/loterías sobre el conjunto de resultados y $f$ es la utilidad von Neumann-Morgentern. (Obsérvese que $f$ que sea cóncava, es decir, que el agente tenga aversión al riesgo, no es lo mismo que la función de utilidad de las loterías sea cóncava. La utilidad de Von Neumann-Morgenstern es lineal en las loterías).

En el caso lineal, la noción adecuada de la derivada debería indicarle que, si una función de utilidad está representada por una continua $f$ la utilidad marginal del bien $x \in [0,1]$ debe ser $f(x)$ .

Si la utilidad es cóncava (para una preferencia convexa), entonces ayudaría conocer el contexto específico. Pero, en general, no es difícil crear funciones cóncavas a partir de funciones lineales.