$2 \lfloor x \rfloor \leq \lfloor 2x \rfloor \leq 2 \lfloor x \rfloor +1$

Question

¿Puedo conocer la técnica de prueba estándar para demostrar este tipo de desigualdades?

$2 \lfloor x \rfloor \leq \lfloor 2x \rfloor \leq 2 \lfloor x \rfloor +1$

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: deje que $n = \lfloor{x\rfloor}$ Así que $n \le x < n+1$ . ¿Qué pasa con $2x$ ?

Answer 2

Por Identidad de Hermite sabemos que $ \lfloor x \rfloor + \lfloor x \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \frac 12 \rfloor = \lfloor 2x \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor x + 1 \rfloor$ . Alternativamente, como ya se ha mencionado, puede utilizar casework en $\{x\} := x - \lfloor x \rfloor$ en particular cuando $0 \le \{x\} < 1/2$ y cuando $1/2 \le \{x\} < 1$ .