$G$ es abeliano si y sólo si $\mathfrak g$ ¿es abeliano?

Question

Sea $G$ sea un grupo Lie conexo y sea $\mathfrak g$ su álgebra de Lie. Sabemos que $$(*) \quad G \, \mbox{is a abelian if and only if } \mathfrak g \, \mbox{is abelian}.$$ Busco un contraejemplo de $(*) $ cuando $G$ no está conectado.

Gracias de antemano

Answer 1

El álgebra de Lie de $O(2)$ es abeliano, pero el grupo de Lie $O(2)$ no es abeliano. Tenemos $$ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

Answer 2

Un grupo de Lie $G$ no necesariamente conectada, encaja en una secuencia exacta corta canónica

$$1 \to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1$$

donde $G_0$ es la componente conexa de la identidad y $\pi_0(G)$ es el grupo de componentes conectados. Ahora, $\mathfrak{g}$ es abeliano si $G_0$ es abeliano. Todavía puede ocurrir que $G$ es no abeliano.

La forma más sencilla es si $\pi_0(G)$ es no abeliano, como se menciona en los comentarios. Más interesante aún, como en la respuesta de Dietrich Burde, puede ocurrir que $\pi_0(G)$ es abeliano pero que la extensión anterior es lo suficientemente no trivial como para que $G$ sigue siendo no abeliano. En el ejemplo de Dietrich Burde de $O(2)$ la extensión

$$1 \to SO(2) \to O(2) \to \mathbb{Z}_2 \to 1$$

es un producto semidirecto no trivial; la acción correspondiente de $\mathbb{Z}_2$ en $SO(2)$ es por inversión.