Volumen de una esfera dentro de un cilindro

Question

Tengo una pregunta sobre los deberes:

Calcular el volumen de $\{(x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2\le (2a)^2\} \cap \{(x,y,z) \mid (x-a)^2 + y^2 \le a^2\}$

de dos maneras:

1) Coordenadas polares

2) Coordenadas esféricas

¿Cómo puedo solucionarlo?

Editar: Lo que he probado:

$$2\int_0^{2\pi}\int_0^a r\sqrt{4a^2-x^2-y^2}\,dr\,d\theta = 2\int_0^{2\pi}\int_0^a r\sqrt{4a^2-(a+r\cos\theta)^2-r\sin^2\theta}\,dr\,d\theta \\ = 2\int_0^{2\pi}\int_0^a r\sqrt{3a^2-2ar\cdot\cos\theta - r^2}\,dr\,d\theta = \: ?$$

Editar: Necesito respuesta con una de las dos formas.

Answer 1

Para coordenadas cilíndricas: $$z=\pm \sqrt{4a^2-(x^2+y^2)}$$ Utilización de coordenadas polares

$$x=r\cos\phi \ , \ y=r\sin \phi $$ terminamos con $$z=\pm \sqrt{4a^2-r^2}$$ ahora, sólo integra $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2a\cos \phi}\int_{-\sqrt{4a^2-r^2}}^{\sqrt{4a^2-r^2}}rdzdrd\phi=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2a\cos \phi}r\sqrt{4a^2-r^2}dzdrd\phi$$

Para coordenadas esféricas: $$ x=r\cos\phi \sin \theta \ , \ y = r\sin \phi \sin \theta \ , \ z = r\cos \theta \ , \ J=r^2\sin \theta $$