Aclaración sobre la base del espacio de columnas de una matriz dada

Question

Sea $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, para encontrar $Col(A)$ de la matriz dada la reducimos a forma escalonada y encontramos las columnas linealmente independientes en forma escalonada y las columnas correspondientes en $A$ abarcan $Col(A)$.

¿Por qué está sucediendo esto? ¿Y por qué las columnas L.I. de la forma escalonada no abarcan el $Col(A)$, dado que la forma escalonada es equivalente a la matriz dada?

[Esta pregunta puede sonar estúpida, pero necesito aclarar mis dudas al respecto, así que por favor no se ofenda]

Answer 1

Esto es cierto porque en cada paso de la reducción, el subespacio lineal generado por las columnas de la matriz resultante es igual al subespacio lineal generado por las columnas de la matriz anterior.

Y esto es cierto porque el espacio lineal generado por los vectores $\{L_1, \dots, L_n\}$ es el mismo que el generado por los vectores $\{L_1, L_2 - \alpha_2 L_1,\dots, L_n - \alpha_n L_1\}$.