Pregunta sobre la notación: Uso de sumas condicionales para expresar la distancia total recorrida por un cuerpo en movimiento con posición $x=x(t)$

Question

Esta es una pregunta sobre notación

¿Puedo expresar la distancia total $s=s(t_1,t_2)$ que ha recorrido un cuerpo en movimiento utilizando la siguiente suma (condicional)?

$$s(t_1,t_2) = \sum_{\forall [t_a,t_b] \subseteq [t_1, t_2]: x'(t) \neq 0} \big |x(t_a) - x(t_b) \big |$$

Obsérvese que el espacio total recorrido viene dado por la suma de los valores absolutos de los desplazamientos para cada subespacio de $[t_1,t_2]$ que la velocidad tiene un signo constante.

Answer 1

La notación presentada (lo que está escrito bajo el $\sum$ ) no es estándar, no se explica por sí mismo y no refleja su intención. Lo que quieres decir es lo siguiente (no se puede hacer sin texto): Uno tiene $$s(t_1,t_2)=\sum_{k=1}^N|x(\tau_k)-x(\tau_{k-1})|$$ para cualquier partición $${\cal P}:\quad t_1=\tau_0<\tau_1<\ldots<\tau_N=t_2$$ con $x'$ semidefinida en cada subintervalo $[\tau_{k-1},\tau_k]$ .

Aquí se asumió tácitamente (como en su pregunta) que $t\mapsto x(t)$ tiene valor real (no vectorial).