¿Cómo leer una integral? Ensayos Bernoulli con porcentaje de acierto variable, p

Question

Tengo un ensayo Bernoulli con tasa de éxito $p$ y la tasa de fracaso $1-p$ las probabilidades de $k$ éxitos es $\binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}$ . Necesito evaluar una integral $$ \int_0^1 dp p^k (1-p)^{N-k} = \frac{k!(N-k)!}{(N+1)!} $$ Esto se hizo con Mathematica, pero puedes usar la inducción. Para evitar integrar sin pensar, puede leer esta integral como una expectativa y evaluarla probabilísticamente ? Tal vez después de cambiar la escala.

Tal vez haya un nombre para los ensayos de Bernoulli donde la tasa de éxito $p$ uniformemente al azar.

Answer 1

Más o menos, sí .

Answer 2

El resultado corresponde a un caso especial del Distribución beta-binomial que puede generalizarse de la siguiente manera.

Supongamos que $Y \sim {\rm Beta}(\alpha,\beta)$ , $\alpha,\beta>0$ real; por lo tanto $Y$ tiene densidad $f_Y{(p)} = p^{\alpha - 1} (1 - p)^{\beta - 1} /{\rm B}(\alpha ,\beta )$ , $p \in [0,1]$ donde ${\rm B}(x,y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ es la función Beta. Supongamos además que $X \sim {\rm binomial}(N,Y)$ , $N \in \mathbb{N}$ fijo, lo que significa que dado $Y=p$ , $X \sim {\rm binomial}(N,p)$ . Entonces, $X$ tiene una distribución Beta-binomial con parámetros $N$ , $\alpha$ et $\beta$ . Por la ley de la probabilidad total, la función de masa de probabilidad de $X$ para $k=0,1,\ldots,N$ por $$ {\rm P}(X=k) = {\rm E}[{\rm P}(X=k|Y)] = \int_0^1 {{N \choose k}p^k (1 - p)^{N - k} f_Y (p)\,{\rm d}p}. $$ Por lo tanto, $$ \int_0^1 {p^{k + \alpha - 1} (1 - p)^{N - k + \beta - 1} \,{\rm d}p} = \frac{{{\rm B}(\alpha ,\beta )}}{{{N \choose k}}}{\rm P}(X = k). $$ Explícitamente, el lado izquierdo viene dado por $$ \int_0^1 {p^{k + \alpha - 1} (1 - p)^{N - k + \beta - 1} \,{\rm d}p} = {\rm B}(k + \alpha ,N - k + \beta ) = \frac{{\Gamma (k + \alpha )\Gamma (N - k + \beta )}}{{\Gamma (N + \alpha + \beta )}} $$ (digamos, por definición de la función Beta), pero esto, por supuesto, no es lo importante aquí: lo importante es la relación con el distribución binómica Beta. En el caso especial en que $\alpha=\beta=1$ tenemos $Y \sim {\rm uniform}[0,1]$ y por sustitución encontramos que ${\rm P}(X=k)=1/(N+1)$ . De ahí la "uniformidad $[0,1]$ -La "distribución binomial" es simplemente la distribución uniforme discreta en $\lbrace 0,1,\ldots,N \rbrace$ .