Encontrar la duración del tiempo cuando las manecillas del reloj intercambian su posición

Question

Archana empezó a trabajar entre las tres y las cuatro de la tarde. Cuando terminó su trabajo, entre las 5 y las 6 de la tarde, observó que las y los minutos al principio de su trabajo eran exactamente las mismas. minuto y la aguja al terminar. ¿Cuánto tardó?

¿Cómo resolver esta cuestión?

Estos son los resultados de una búsqueda en Google

careerride.com da como opciones a) $7/13$ min, b) $6/13$ min, c) $10/13$ min, d) $3/13$ min

careerbless.com da como respuesta $24/13$ hora

No soy capaz de resolver esta pregunta y también decidir la respuesta correcta debido a la diferencia en las respuestas que he mencionado.

Creo que el problema puede resolverse utilizando el siguiente concepto
El minutero se mueve 6 grados en cada minuto.
La aguja horaria se mueve 0,5 grados cada minuto.

Pero no puede continuar.

Por favor, ayúdenme y guíenme en cómo enfocar este problema.

Answer 1

Dejando entre $3$ y $4.$ Así, tomando la posición inicial de las manos como
posición de la aguja horaria = $3+M/12$
posición del minutero $=M$

Volviendo entre $5$ y $6.$ Así, tomando la posición final de las manos como
posición de la aguja horaria $=5+m/12$
posición del minutero $=m$

Dado que las manos intercambian
$3+M/12 = m \ ...(1)$
$5+m/12 = M \ ...(2)$

Resolver,
$m = 492/143$
$M = 756/143$

posición inicial: $3 : 756/143$
significa que el tiempo inicial es $3$ hr y ( $756/143 \times 5$ ) minutos
es decir, el tiempo inicial es $3$ hr y $(3780/143)$ minutos
(tenemos que multiplicar por $5$ por ejemplo, M $=1$ significa $5$ minutos)

Posición final: $5 : 492/143$
significa, tiempo final es $5$ hr y ( $492/143 \times 5$ ) minutos
es decir, el tiempo final es $5$ hr y $(2460/143)$ minutos

Por lo tanto, la diferencia es $1$ hr y $7260/143$ minutos

es decir, la diferencia de tiempo (en horas)
$=1+(7260/143)/60$ hora
$=1+(121/143)$ hora
$=1+(11/13)$ hora
$=(24/13)$ hora

Así que, en mi cálculo, obtuve la misma respuesta que la proporcionada por careerbless.com ( http://www.careerbless.com/qna/discuss.php?questionid=3510 )

@trueblueanil, Por favor, hazme saber si mis cálculos son erróneos o no. Yo estaba tratando de utilizar los mismos cálculos lo que usted ha mencionado. (Lo que entiendo es, tuvimos que multiplicar el M y m con $5$ para obtener el valor de los minutos porque M y m sólo señalaba el dígito del reloj)

Answer 2

Supongamos que las agujas de las horas y de los minutos están separadas inicialmente por un ángulo $\alpha$ . Midamos los ángulos como fracción de $360^\circ$ . El minutero se mueve $12$ veces más rápido que el de las horas, por lo que en el tiempo que la aguja H recorre $\alpha$ la manecilla M se habrá movido $12 \alpha$ y tendremos (véase el esquema) que $$12\,\alpha \equiv - \,\alpha \quad \left( {\bmod \;1} \right)\quad \Rightarrow \quad 13\,\alpha \equiv 0\quad \left( {\bmod \;1} \right)\quad \Rightarrow \quad \alpha = n/13$$ Con el mismo planteamiento, en el tiempo que abarca la mano H $\beta$ la mano M habrá abarcado $12$ veces ese ángulo, y esto será igual a $\beta + \alpha$ $$12\beta \equiv \beta + \alpha \quad \left( {\bmod \;1} \right)\quad \Rightarrow \quad 11\beta \equiv \alpha \quad \left( {\bmod \;1} \right)\quad \Rightarrow \quad \beta = n/143 + m/11$$ donde claramente $n$ y $m$ son números enteros.
Queremos mantener $0<\alpha, \beta <1$ Por lo tanto $0< n < 13$ y $0< m < 11$ . Para expresar los ángulos (en fracción de vuelta) en unidad de horas basta con multiplicar por el número de horas / vuelta, es decir, por $12$ así que..:

$$\left\{ \begin{array}{l} t_{\,0} = 12\,\beta = 12/143\;n + 12/11\;m\quad (h) \\ \Delta \,t = 12\,\alpha = 12/13\;n\quad (h) \\ t = 12\,\left( {\beta + \alpha } \right) = 144/143\;n + 12/11\;m\quad (h) \\ \end{array} \right.$$

donde el significado de los símbolos debe resultar claro.
A continuación se presentan algunos valores obtenidos con las fórmulas anteriores

De ello se desprende claramente que:

• el $\Delta t$ puede ser incluso algo menor que $1$ hora;
• con $n=0$ las distintas $m$ dará las posiciones de solapamiento ;
• a partir de $3$ y $4$ en punto y termina entre las $5$ y $6$ da la solución en negrita.

Answer 3

Una nueva y sencilla solución

Entiendo que las agujas de horas y minutos son intercambiables, como se indica en el encabezamiento (en el cuerpo, es vago)

Obviamente, la duración tiene que ser superior a una hora, así que si sólo una de las opciones es superior a una hora, puede optar por ella directamente.

Pero aunque haya más de una solución $>1\;hr$ hay una manera mucho más fácil de encontrarlo

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Sea la separación inicial entre la aguja horaria y la aguja minutera, a $\approx 3:27,say. =z$ (en horas)

En el tiempo que cubre la aguja horaria $z$ horas, el minutero ha recorrido dos horas menos $z$ es decir $2-z$

Ahora la velocidad del minutero es $12$ veces la de la aguja horaria, por lo tanto

$\dfrac{2-z}{z} = 12$ lo que arroja $z = 2/13$ hrs

y el tiempo que tardan las agujas en intercambiarse $= (2 - z) = 24/13$ hrs