Diferencia entre variable aleatoria y fracción

Question

Sea $\displaystyle \epsilon > 0$ y $\displaystyle X$ se distribuya uniformemente en $[0,1]$ . Demostrar que, casi con seguridad, sólo existe un número finito de racionales $\displaystyle \frac{p}{q}$ con $\displaystyle p\wedge q=1$ tal que:

$\displaystyle \left|X-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2+\epsilon}}$

Nota: $\displaystyle p\wedge q=1$ significa que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es $1$ .

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $x$ permite infinitas aproximaciones $\frac pq$ como en el enunciado del problema, entonces para cada $n$ existe un $q\ge n$ y un $p$ avec $0\le p\le q$ y $p\land q=1$ y $x\in I_{p,q}:=\left]\frac pq-\frac1{q^{2+\epsilon}},\frac pq+\frac1{q^{2+\epsilon}}\right[$ . Esto significa simplemente que $$x\in \bigcap_{n\ge 1}\bigcup_{q\ge n}\bigcup_{0\le p\le q\atop p\land q=1}I_{p,q}=:C.$$ Calculamos la medida $\mu(C)$ paso a paso. En primer lugar, tenemos $$\mu(I_{p,q})=\frac2{q^{2+\epsilon}}.$$ Entonces para $$A_q:=\bigcup_{0\le p\le q\atop p\wedge q=1} I_{p,q}$$ tenemos el límite $$\mu(A_q)\le \phi(q)\cdot \frac2{q^{2+\epsilon}}<\frac 2{q^{1+\epsilon}}.$$ Entonces $$B_n:=\bigcup_{q\ge n}A_q$$ tiene como máximo la medida $$\mu(B_n)\le \sum_{q=n}^\infty \frac 2{q^{1+\epsilon}}.$$ Dado que esta serie converge (porque $\epsilon>0$ ), tenemos $$\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)=0$$ y por tanto de $C=\bigcap_{k=1}^\infty B_k\subseteq B_n$ para todos $n$ también $$\mu(C)=0.$$