Rango de la expresión $n^n (\frac{n+1}{2})^{2n}$

Question

Demuéstralo:

$n^n (\frac{n+1}{2})^{2n}$

1. Mayor o igual que $(\frac{n+1}{2})^3$

2. Mayor o igual que $(n!)^3$

Aquí $n\in \mathbb{N}$

¿Cómo demostrarlo? Parece demasiado complicado. Por favor, sugiera cómo iniciar la solución?

Answer 1

Primera parte.

Para $n\in N$ tenemos: $n\geq \frac{n+1}{2}$

$n (\frac{n+1}{2})^2\geq (\frac{n+1}{2})^3$

$n^n (\frac{n+1}{2})^{2n}\geq (\frac{n+1}{2})^3$

Answer 2

Utilizando $\bf{A.M\geq G.M}\;,$ Obtenemos

$$\frac{1^3+2^3+3^3+.........+n^3}{n}\geq \left(1^3\cdot 2^3\cdot 3^3\cdot.......n^3\right)^{\frac{1}{n}}$$

Así que $$\frac{n^2(n+1)^2}{4n}\geq \left(n!\right)^{\frac{1}{n}}\Rightarrow n^n\cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2n}\geq (n!)^3$$