Sea una relación sobre $\mathbb{Z}$ compruebe si se trata de una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$ y escribir la clase de equivalencia de $0$

Question

Tengo este ejercicio:

$$\mathcal{R} = \left \{ (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \quad \mbox{ such that } \quad 15 \mid 4b + 11a\right \}$$

es decir $a \mathcal{R} b \iff 15 \mid 4b + 11a$ .
i) Compruebe si $\mathcal{R}$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$ ;
ii) Escribe la clase de equivalencia de $0$ .

desarrollo:

punto i)
$\mathcal{R}$ es reflexivo de hecho,
$\forall a \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, \,a \mathcal{R} a,$ desde $15 \mid 4a+11a \iff 15 \mid 15a$

$\mathcal{R}$ es simétrica,
$a \mathcal{R} b \Rightarrow 15 \mid 4b+11a$
y también
$\forall a,b \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ tenemos $15 \mid 15b+15a$
por lo tanto
$15 \mid 15b+15a-4b-11a=4a+11b$
así que $b \mathcal{R} a$

$\mathcal{R}$ es transitivve, de hecho,
asumiendo $a \mathcal{R}b \mbox{ and } b\mathcal{R}c$ que tenemos:
$a \mathcal{R} b \Rightarrow 15 \mid 4b+11a$
$b \mathcal{R} c \Rightarrow 15 \mid 4c+11b$
por lo tanto $a \mathcal{R} c$

punto ii)
La clase de cero es:
$a \mathcal{R} 0 \iff 15 \mid 11a$ es decir, los múltiplos de $15$ .
FIN

este es un ejercicio resuelto pero hay algunos puntos que no entiendo.
- por qué tenemos que $15 \mid 15b + 15a$ y también por qué $15 \mid 4a+11b$ ?
- ¿por qué se define así la clase de cero?

Por favor, ¿puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

$15|15b+15a$ porque $15b+15a=15(a+b)$ y $a$ y $b$ son ambos números enteros y, por tanto, también lo es su suma. En $15|4a+11b$ ya que sabemos $15|15a+15b$ entonces y puesto que tenemos $a\mathscr Rb$ implica $15|4b+11A$ implica $(-a)\mathscr R(-b)$ implica $15|-4b-11a$ Entonces $15|(15a+15b)+(-4a-11b)$ porque $15$ divide cada uno así es divide la suma. lo que nos da $15|4a+11b$

Y la clase de equivalencia son todos los números que estarían relacionados con $0$ . Entonces $a\mathscr R 0$ si $15|11a+4(0)$ que da $15|11a$