Tengo este ejercicio:
$$\mathcal{R} = \left \{ (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \quad \mbox{ such that } \quad 15 \mid 4b + 11a\right \}$$
es decir $a \mathcal{R} b \iff 15 \mid 4b + 11a$ .
i) Compruebe si $\mathcal{R}$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$ ;
ii) Escribe la clase de equivalencia de $0$ .
desarrollo:
punto i)
$\mathcal{R}$ es reflexivo de hecho,
$\forall a \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, \,a \mathcal{R} a, $ desde $15 \mid 4a+11a \iff 15 \mid 15a$
$\mathcal{R}$ es simétrica,
$a \mathcal{R} b \Rightarrow 15 \mid 4b+11a$
y también
$\forall a,b \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ tenemos $15 \mid 15b+15a$
por lo tanto
$15 \mid 15b+15a-4b-11a=4a+11b$
así que $b \mathcal{R} a$
$\mathcal{R}$ es transitivve, de hecho,
asumiendo $a \mathcal{R}b \mbox{ and } b\mathcal{R}c$ que tenemos:
$a \mathcal{R} b \Rightarrow 15 \mid 4b+11a $
$b \mathcal{R} c \Rightarrow 15 \mid 4c+11b $
por lo tanto $a \mathcal{R} c$
punto ii)
La clase de cero es:
$a \mathcal{R} 0 \iff 15 \mid 11a$ es decir, los múltiplos de $15$ .
FIN
este es un ejercicio resuelto pero hay algunos puntos que no entiendo.
- por qué tenemos que $15 \mid 15b + 15a$ y también por qué $15 \mid 4a+11b$ ?
- ¿por qué se define así la clase de cero?
Por favor, ¿puede ayudarme? Gracias.