Rango y determinante de matrices sobre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

Question

Sea $M:=\begin{pmatrix}1 & 2 & 7 & 4 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\in M(4\times4,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ donde $p$ es un número primo.

Asignación: Hallar el rango y el determinante de $M$ .

Mi problema es que desde $p$ es un número primo arbitrario, hay que hacer el cálculo del rango mediante reducción de filas de la siguiente manera: $$M=\begin{pmatrix}1\mod p & 2\mod p & 7\mod p & 4\mod p \\ 0 & 3\mod p & p-(2\mod p) & 1\mod p \\ 3\mod p & 0 & 3\mod p & 0 \\ 4\mod p & 1\mod p & 3\mod p & 1\mod p \end{pmatrix}$$
y tratando de hacer $m_{3,1}=0$ en el siguiente paso obtenemos

$$\begin{pmatrix}1\mod p & 2\mod p & 7\mod p & 4\mod p \\ 0 & 3\mod p & p-(2\mod p) & 1\mod p \\ 0 & 0+((p-3)\mod p)\cdot 2\mod p)\mod p & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{pmatrix}$$ y podemos ver que a medida que se va reduciendo la fila de la matriz, ésta se vuelve cada vez más complicada, con problemas similares en el cálculo del determinante.

Answer 1

Te sugiero que empieces por el determinante, no por el rango. Si calculas el determinante de $M$ utilizando cualquier método de su elección, obtendrá que este determinante es $-54$ o mejor dicho $$\det M=-54=-2\cdot3^3 \pmod{p}.$$ Esto demuestra que $M$ es invertible para cualquier $p\neq2,3$ . Para estos dos primos restantes, puedes resolverlo explícitamente.