Cómo demostrar una desigualdad con $\tanh(x)$

Question

Quiero demostrar que existe una constante $c>0$ tal que

$$\tanh(\frac{t}{2}) - \frac{t}{2} < -c\frac{t}{2}$$

para todos $t\ge 1$

Answer 1

No obstante

$$\tanh \frac{t}2 - \frac{t}2 < -c\frac{t}2 \iff f(t)=\frac{\tanh \frac{t}2 - \frac{t}2 }{\frac{t}2 }<-c$$

que es verdadera para algún c>0, de hecho

• $f(t)$ es continua para $t \ge 1$
• $\tanh x<x \implies f(t)<\frac{\frac{t}2 - \frac{t}2 }{\frac{t}2 }=0 $
• $\lim_{t\to +\infty} f(t)=-1$

así para Teorema del valor extremo $f(x)$ está limitada por un máximo $M<0$ por lo tanto existe $c>0$ tal que $0<-c<M\le f(t)$ .

Answer 2

Considere la función $$ f(x)=(1-c)x-\tanh x $$ en $[1/2,\infty)$ . Su derivada es $f'(x)=-c+\tanh^2x$ . Puesto que, para $x\ge1/2$ , $\tanh^2x\ge\tanh^2(1/2)$ la derivada es positiva siempre que $c<\tanh^2(1/2)$ por lo que la función es creciente.

Desde $f(1/2)=(1-c)/2-\tanh(1/2)$ sólo tenemos que establecer $$ 1-c>2\tanh(1/2) $$ es decir, $c<1-2\tanh(1/2)$ . Así, cualquier $c$ satisfaciendo $$ 0<c<\min(1-2\tanh(1/2),\tanh^2(1/2)) $$ lo hará.

Tenga en cuenta que $$ 1-2\tanh(1/2)=1-2\frac{e-1}{e+1}=\frac{e+1-2e+2}{e+1}=\frac{3-e}{e+1}>0 $$