Bien, esto es un poco tricksy problema, porque al principio la gente piensa "Oh, está bien, acabo de multiplicar a través de esta cosa y está bien", pero luego piensan "Hang on, nunca hemos realmente define lo que entiende por esto... es solo algunos de taquigrafía engaño" - pero luego , cuando, eventualmente, hacer geometría diferencial pensar "¡Ajá! Así que ha sentido a lo largo de todos!"
El principal mensaje que quiero es que las cosas como $\mathrm d x$ son en realidad bien definida de lo que se denomina diferencial de las formas que usted realmente no necesita para comprender en detalle para obtener cómo funcionan.
La forma en que terminan trabajando en la integración y los cambios de variable es aproximadamente la siguiente: se juntan para hacer un volumen de forma que sólo le indica cuánto es el volumen de un pequeño rango de los parámetros corresponde. (Me dicen "ven juntos" porque si estás haciendo muchas integraciones como en $\int \int f(x,y) \;\mathrm d x \mathrm d y$ luego de recibir un ramo de la $\mathrm d [...]$ cosas todos juntos.) Más precisamente, recordar cómo puede alrededor de definir la integración como un límite de una suma, como
$$\int_a^b f(x) \mathrm d x \equiv \lim_{N\to\infty}\sum_N f(x_n) \left(x_n-x_{n-1}\right)$$
Aquí, $\delta_n = x_n-x_{n-1}$ es proporcionar alguna medida de cuán importante es el poco de espacio entre el $x_{n-1},x_n$ es en el cálculo de la integral. El $\mathrm d x$ es lo que mantiene un registro de esa información.
Supongamos que, a continuación, intente $u=x^2$ o $x=\sqrt u$. A continuación, en general
$$\int_{a^2}^{b^2} f(\sqrt u) \mathrm d u \equiv \lim_{N\to\infty}\sum_N f(\sqrt{u_n}) \left(u_n-u_{n-1}\right) = \lim_{N\to\infty}\sum_N f(x_n) \left(x_n^2-x_{n-1}^2\right)\neq \int f \mathrm d x$$
debido a que el peso es diferente!
Pero aviso que $x_n^2-x_{n-1}^2 = (x_n-x_{n-1})(x_n+x_{n-1}) \approx (x_n-x_{n-1})(2x_n)$ en el límite de la multa espaciado, así
$$\int_{a^2}^{b^2} f(\sqrt u) \frac{\mathrm d u}{2x} = \int_a^b f(x) \; \mathrm d x$$
Realmente estamos analizando la diferencia entre los volúmenes de los parches pequeños de espacio cuando jugamos con los diferenciales. El truco es darse cuenta de que, en general, al igual que aquí, $\mathrm d u = u'(x) \mathrm dx$. En las dimensiones superiores integrales, usted descubrirá que la generalización, por ejemplo,
$$\int f(x,y) \;\mathrm d x\mathrm d y = \int f(u,v) \; J \; \mathrm d u\mathrm d v$$
donde $u=u(x,y),v=v(x,y)$ implica una cantidad $J$ llamado el Jacobiano (determinante) que utiliza todos los posibles derivados de $u,v$ con respecto al $x,y$ en una manera particular.
La notación
$$\frac{\mathrm d u}{\mathrm d x} = \lim_\text{fine spacing}\frac{\delta u}{\delta x} = \lim_{x_n-x_{n-1}\to 0}\frac{u_n-u_{n-1}}{x_n-x_{n-1}} = u'(x)$$
ahora es visto sólo una sugerente notación que trabaja para el caso de sólo una variable cambiante. Se utiliza porque se deja en claro cómo la forma de volumen debe ser reemplazado.
Cuando hay muchas variables, esta notación se rompe porque los factores que están todos mezclados juntos y que la gente escribe en derivadas parciales, que se verá pronto si usted no tiene ya, en su lugar. Resulta que tiene sentido usar una generalización de la
$$\mathrm d u = u'(x) \mathrm d x$$
ley que se llama la regla de la cadena en la que, por $u=u(x,y)$ por ejemplo
$$\mathrm d u = u_x \mathrm d x + u_y \mathrm d y$$
donde $u_x(x,y)$ es el derivado de la $u$ con respecto al $x$ cuando sólo pensamos en $y$ como una constante.
Tendrás que esperar hasta que la geometría diferencial cursos para ver cómo utilizar esto para obtener el Jacobiano factor; resulta que en lugar de simplemente escribir los formularios juntos, deben técnicamente definir algo que se llama una cuña producto tal que $a\wedge b = -b\wedge a$ para las formas como la $\mathrm d x$; luego de obtener
$$\mathrm d u \wedge \mathrm d v = (u_x \mathrm d x + u_y \mathrm d y)\wedge(v_x \mathrm d x + v_y \mathrm d y) = (u_x v_y-u_y v_x) \mathrm d x \wedge \mathrm d y$$
de modo que el Jacobiano es (uno más) $(u_x v_y-u_y v_x)=\det \pmatrix{u_x & u_y \\ v_x & v_y}$.
Usted puede obtener este resultado directamente de pensar en los pequeños parches de volumen, sin embargo, por lo que vas a ver esto mucho antes que cualquier diferencial de la forma de las cosas. Sólo pensé que, ya que usted fue curioso, que debería haber tenido la historia completa mencionado a lo largo del camino.
