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Prueba integral de $\sum_{n=1}^{\infty}n\left(1+n^{2}\right)^{p}$

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio del libro de texto:

Halla los valores de p para los que converge la serie : $$ \sum_{n=1}^{\infty}n\left(1+n^{2}\right)^{p} $$

He encontrado una serie de videos y explicaciones sobre cómo utilizar la prueba integral para resolver esto - que es convergente para $p\lt -1$ .

Sin embargo, todos ellos pasan por alto el cumplimiento de los tres criterios para utilizar la prueba integral.

Positivo y continuo en el intervalo $\left[ 1,\infty \right)$ está claro. Pero estoy atascado en mostrar que eventualmente disminuye en el intervalo.

Cuando tomo la derivada de $f(x)$ Me sale: $$ f'(x)=2px^{2}\left(x^{2}+1\right)^{p-1}+\left(x^{2}+1\right)^{p} $$

¿Qué me estoy perdiendo ya que no puedo ver cómo está disminuyendo? Y por lo tanto, cómo se puede utilizar la prueba integral.

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Theo Bendit Puntos 2468

Es una pena, pero esta parte de la prueba se suele esconder bajo la alfombra. Tengo una queja similar sobre la mayoría de los usos de la prueba de series alternas. Me alegro de que exijas pruebas.

Tenemos, \begin{align*} f'(x) &= 2px^2\left(x^2+1\right)^{p-1}+\left(x^2+1\right)^p \\ &= 2p\left(x^2 + 1\right)\left(x^2+1\right)^{p-1}+\left(x^2+1\right)^p-2p\left(x^2 + 1\right)^{p-1} \\ &= (2p+1)\left(x^2+1\right)^p-2p\left(x^2 + 1\right)^{p-1}. \end{align*} Tenemos $f'(x) < 0$ sólo si $$(2p+1)(x^2 + 1) < 2p \iff (2p + 1)x^2 < -1.$$ Si suponemos que $p < -\frac{1}{2}$ (lo que, por supuesto, sería cierto si $p < -1$ ), entonces esto es equivalente a, $$x > \frac{1}{\sqrt{|2p + 1|}},$$ que es lo que necesitamos. Por lo tanto, para $x$ siempre que $p < -\frac{1}{2}$ la función es decreciente. Si $p \ge -\frac{1}{2}$ y si volvemos a la operación anterior, queda claro que la función aumenta en todas partes. Esto demuestra tanto que la integral y la serie no convergen (ya que ambos aumentan a partir de un número positivo), sino también que la prueba técnicamente no se aplica en ese caso.

Espero que le sirva de ayuda.

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Es fácil demostrar que $f'(x)<0 $ para $x> N$ si $\,p< -1$ . Por tanto, la integral converge y, por tanto, la serie converge para $\,p< -1$ . Para $p=-1$ la derivada es negativa para $x> N$ por lo que se puede aplicar la prueba pero la integral y por tanto la serie divergen. Para $-1<p<-\frac{1}{2}$ la derivada es negativa para $x> N\,\,$ por lo que se puede aplicar la prueba y dar que la integral y por tanto la serie divergen. Para $p\geq -\frac{1}{2}$ es evidente que $n(1+n^{2})^{p}\geq n(1+n^{2})^{-1/2}$ y $\frac{n}{\sqrt{1+n^2}}> \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}>\frac{1}{n+1}$ y la última serie diverge. Por tanto, la serie converge para $p<-1$ y diverge para $p\geq 1$ ¡¡.!!

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Jez Puntos 469

Desde $$ I_p=\int_1^{\infty}x(1+x^2)^pdx=\frac12\int_2^{\infty}u^pdu=\begin{cases} -\frac{2^p}{p+1} \text{ for } p <-1\cr \infty \text{ for } p \ge -1 \end{cases}. $$ la serie converge para $p<-1$ y diverge en caso contrario.

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