Espacios de Hilbert, integrabilidad cuadrada, etc.

Question

(Por favor, que alguien cambie el título si se le ocurre uno mejor)

Tenemos un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ que consta de todas las funciones $\psi(x)$ tal que

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx \lt \infty $

Ahora tengo que demostrar que hay funciones en $\mathcal{H}$ tal que $Q\phi(x)=x\psi(x)$ no está en $\mathcal{H}$ . Basta con que piense en un contraejemplo.. pero aun así, las dos únicas integrables cuadradas que se me ocurren son la gaussiana y la "función" dirac-delta. Para ambos casos, las correspondientes $x\psi(x)$ también es L2. ¿Podría alguien darme más ejemplos de funciones que sean integrables al cuadrado en todo el eje real?

Además, si ahora considero el espacio de funciones $\Omega$ con el conjunto infinito de condiciones,

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 (1+|x|^n)dx \lt \infty$ para $n=0,1,2,\cdots$

Tengo que demostrar ahora, que para cualquier $\psi(x)$ en $\Omega$ la función $Q\phi(x)=x\psi(x)$ también está en $\Omega$ . Se me ocurre un argumento débil como

$\int_{-\infty}^{\infty} |Q\psi(x)|^2 (1+|x|^n)dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 (x^2+|x|^{n+2})dx \approx \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 (1+|x|^n)dx \lt \infty $

El último paso porque sólo nos preocuparía el comportamiento de $x$ cuando es muy grande, ya que la función tendría que ir a cero a grandes $x$ para que esté en $\Omega$ .

No estoy tan seguro de ello, y me enfrento a una dificultad conceptual básica. ¿Podemos concluir si $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx \lt \infty $ entonces $\psi(x)$ debería caer a medida que $1/x^2$ ?

Answer 1

Sugerencia: Piense en la función de distribución de Cauchy. Digamos $\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Para la segunda parte de tu pregunta, podrías definir tu espacio de funciones $\Omega$ sean funciones tales que $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \left|x \right|^n dx < \infty$ para $n \in \mathbb{N}$

(Su espacio de funciones y el espacio de funciones definido en la línea anterior son el mismo. Puesto que si $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \left|x \right|^n dx < \infty$ para $n \in \mathbb{N}$ entonces $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 dx < \infty$ tomando $n=0$ y sumando las dos se obtiene tu definición y además la función que satisface tu definición también encaja en la definición dada en esta respuesta ya que $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \left|x \right|^n dx \leq \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 (1 + \left|x \right|^n) dx < \infty$ )

La conclusión ahora es trivial ya que $2 \in \mathbb{N}$ y si $n \in \mathbb{N}$ entonces también $n+2$

Answer 2

También sé que puedo construir funciones a trozos, pero ¿hay algo mejor que eso?

No sé qué tienen de malo las funciones a trozos, pero ¿qué te parece $f(x)=1/(1+|x|)$ ?

Como mencionó Akhil, la función delta de Dirac no está en $L^2$ . Una función lineal densamente definida en un espacio suele ser un objeto muy distinto de un elemento del espacio.

Para demostrar que $Q(\Omega)\subseteq\Omega$ Obsérvese que $x^2+|x|^{n+2}\leq 1+|x|^{n+3}$ fuera de un intervalo acotado, y $x^2+|x|^{n+2}$ está acotada en intervalos acotados.