Definición de formas modulares p-ádicas

Question

He estado leyendo el libro de Hida "p-Adic automorphism forms on Shimura varieties" y no entiendo un punto. Primero describe las formas modulares p-ádicas de nivel N domesticado como funciones sobre la torre de Igusa que pueden interpretarse como funciones sobre triples $(E,\phi_{p^\alpha},\phi_N)$ donde $\phi_{p^\alpha}: \mu_{p^\alpha}\hookrightarrow E$ es la estructura de niveles Cartier dual a la identificación $E[p^\alpha]^{et}\cong \mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z}$ . Luego afirma que desde $\mu_{p^\alpha}$ tiene una diferencial canónica $\frac{dt}{t}$ podemos considerar las formas modulares p-ádicas como funciones sobre triples $(E,\phi_{p^\alpha},\phi_N, \phi_{p^\alpha *}\frac{dt}{t})$ .

Supongo que la idea es que tal diferencial se supone que trivializa el pushforward de la gavilla de diferenciales de la curva elíptica sobre la base, cuando pensamos en formas modulares como sección de esa gavilla para la curva elíptica universal. Sin embargo, no encuentro sentido al pushforward de la diferencial como diferencial de la curva elíptica.

¿Alguien sabe cómo entender todo esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

No es un pushforward de un diferencial (o quizá pueda describirse como tal, pero no tiene por qué serlo).

Más bien existe un mapa de retroceso de diferenciales en la curva elíptica a diferenciales en $\mu_{p^\alpha}$ . Sin embargo, este mapa es un isomorfismo mod $p^\alpha$ por lo que se puede aplicar la inversa para invertir el proceso.

El hecho de que sea un isomorfismo se deduce de:

Las diferenciales en una curva elíptica sobre un anillo $R$ son un rango $1$ módulo libre sobre $R$ .

Los diferenciales de $\mu_{p^\alpha}$ en $R$ son $R/ p^\alpha$ porque viene dada por la ecuación $x^{p^\alpha}=1$ Por lo tanto $p^\alpha x^{p^\alpha-1} dx =0$ y $x$ es invertible por lo que $p^\alpha dx=0$ .

El mapa es una unidad mod $p$ - tras especializarse en un campo de característica $p$ basta con comprobar que es distinto de cero. Pero si es cero, entonces el mapa $\mu_p \to E$ es trivial en diferenciales, así que exponenciando (y parando antes de $p$ potencias) es cero, lo que contradice el hecho de que proviene de la dualidad de Cartier.