Supongamos que $X \sim \Gamma[n_1,\lambda], Y \sim \Gamma[n_2,\lambda]$ , y $X+Y \sim \Gamma[n_1 + n_2, \lambda]$
¿Podemos decir que $X$ y $Y$ ¿son independientes?
Esto es lo que pienso: Supongamos que $f,g$ son p.d.f.'s de $X,Y$ y $h$ ser su p.d.f. conjunto. Básicamente está diciendo
$$ \forall z>0,\int_0^z h(x,z-x)dx = \int_0^z f(x)g(z-x)dx $$
¿Infiere $h(x,y) = f(x)g(y)$ ¿A.e.?
Bueno, sé que si $$ \int_0^xf(u)du = \int_0^x g(u)du$$ Tomando la derivada de $x$ Supongo que significa $f = g$ a.e.
Sin embargo, no sé cómo tomar la derivada de $z$ en la fórmula anterior, ya que $x$ aparece al mismo tiempo con $z$ . Si tomo la derivada de $z$ ya que $z-z=0$ , voy a conseguir $h(z,0) = f(z)g(0)$ que no parece ayudar.
Sabemos que si $X$ , $Y$ son independientes, se cumple la aditividad. Ahora estoy haciendo un problema que requiere demostrar la independencia de dos v.r.. He encontrado que siguen distribuciones Gamma y obedecen a la aditividad, pero no estoy seguro de si es legítimo decir que estas dos v.r. son independientes.
Gracias.
