Potencial vectorial para $\nabla f \times \nabla g$

Question

Sea $f$ y $g$ sean dos funciones suaves de valor real sobre $\mathbb{R}^3$ . ¿Cómo podemos encontrar un potencial vectorial para el campo vectorial $F = \nabla f \times \nabla g$ ?

En esta pregunta - Demuestra que $\nabla\cdot (\nabla f\times \nabla h)=0$ - tenemos que $\text{div}(F) = 0$ Así que $F$ tiene un potencial vectorial, es decir, un campo vectorial $H$ en $\mathbb{R}^3$ tal que $\text{curl}(H) = F.$ Pero, ¿cómo lo encontramos concretamente? Si dejamos que $H = (H_1, H_2, H_3)$ entonces deberíamos tener que $$\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial H_3}{\partial y} - \frac{\partial H_2}{\partial z} \\ \frac{\partial H_1}{\partial z} - \frac{\partial H_3}{\partial x} \\ \frac{\partial H_2}{\partial x} - \frac{\partial H_1}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial z} - \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial z} \\ \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} \end{pmatrix}, $$ pero no sé cómo continuar desde aquí.

Answer 1

Mientras $F(\mathbf{x})$ decae lo suficientemente rápido como $\|\mathbf{x}\| \to \infty$ el potencial vectorial $\phi$ tal que $\nabla \times \phi = F$ viene dado por

$$\phi(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\nabla \times (\nabla f(\mathbf{y}) \times \nabla g(\mathbf{y}))}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y} \|}\, d \mathbf{y} $$

Esto puede ampliarse utilizando $\nabla \times(\nabla f \times \nabla g) = f \nabla \cdot g - g \nabla \cdot f + g \cdot \nabla f - f \cdot \nabla g.$

Answer 2

Existe una solución en términos de $f$ y $g$ a saber $$H = \begin{pmatrix} f \cdot \frac{\partial g}{\partial x} \\ f \cdot \frac{\partial g}{\partial y} \\ f \cdot \frac{\partial g}{\partial z} \end{pmatrix}. $$ Podemos ver que $\text{curl}(H) = F$ . Por ejemplo, el primer componente de $\text{curl}(H)$ es $$\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial z} + f \cdot \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial z} - \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} - f \cdot \frac{\partial^2 g}{\partial z \partial y}, $$ y puesto que $g$ es suave, sus derivadas parciales conmutan.