Estoy usando un libro que define $A\setminus B$ (al parecer está también escrito como $A-B$) $\{x\mid x\in A,x\not\in B\}$, pero entonces allí fue un ejercicio que pide que encontrar $A\setminus A$. ¿No sería una contradicción según la definición dada? (Todas las $x$ tal es que $x$ $A$ y no $A$...)
Nota: La contraportada del libro da la respuesta $\emptyset$ sin ninguna explicación. Nota 2: El libro es matemática introductoria por Geoff Smith.
Gracias.
Las otras respuestas son, por supuesto, todo correcto. Pero he aquí otra manera de pensar que, tal vez, construir en su intuición.
Tienes razón que no es una contradicción. Las declaraciones "$x \in A$" e $x \notin A$ son mutuamente excluyentes o contradictorias. Por lo tanto, la afirmación de que "$x \in A \mathrel{\mathrm{and}} x \notin A$" debe ser falsa para todos los valores de $x$.
En consecuencia, la definición de conjunto es equivalente a $\{ x \mid \mathrm{False} \}$. Por lo tanto, este conjunto debe estar vacío.
Por la definición de conjunto generador de notación,
$$y \in \{ x \in A \mid x \notin A \} $$
si y sólo si
$$ y \in A \wedge y \notin A $$
Puesto que el último es una contradicción, hemos demostrado que, para todos los $y$,
$$ y \notin \{ x \in A \mid x \notin A \} $$
Sin embargo, ya sabemos un conjunto que ordena que la pertenencia a la relación: es decir, tenemos
$$y \notin \varnothing$$
En particular, para todos los $y$, tenemos
$$ y \in \{ x \in A \mid x \notin A \} $$
si y sólo si
$$ y \in \varnothing $$
y así llegamos a la conclusión de
$$ \varnothing = \{ x \in A \mid x \notin A \} $$
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