Sea $S$ sea un subconjunto de $\mathbb{R}$ , $\mathrm{int}S$ denotan el conjunto de puntos interiores de $S$ , $\mathrm{bd}S$ denotan el conjunto de puntos límite de $S$ , $S'$ denotan el conjunto de puntos de acumulación de $S$ y $\mathrm{cl}S$ denotan el cierre de $S$ .
El problema plantea que
Proporcione un contraejemplo a la siguiente afirmación: Si $S$ es un conjunto cerrado, entonces $\mathrm{cl}(\mathrm{int S}) = S$ .
Un contraejemplo fácil es considerar un subconjunto finito no vacío $S$ . En $S$ está cerrado porque $S' = \varnothing \subseteq S$ . Pero porque $\mathrm{int}S = \varnothing$ tenemos $\mathrm{cl}(\mathrm{int}S) = \varnothing \neq S$ .
Mi pregunta
Así que tengo una conjetura y un intento de probarla: Si $S$ es un conjunto cerrado e infinito, entonces $\mathrm{cl}(\mathrm{int}S) = S$ . Me preguntaba si la siguiente prueba es válida.
Supongamos que $S$ es un conjunto cerrado e infinito. Sin pérdida de generalidad, sea $a, b \in \mathbb{R}$ tal que $a < b$ y $S = [a,b]$ . Entonces
$$\begin{align} \mathrm{cl}(\mathrm{int} S) &= \mathrm{int}S \cup \mathrm{bd}(\mathrm{int}(S)) \\ &= (a,b) \cup \{a,b\} \\ &= S \end{align}$$
como desee.