polinomios homogéneos sobre campos finitos

Question

Sea $F$ sea un campo finito y $p(X_1,\dots,X_n)\neq 0$ un polinomio homogéneo con coeficientes en $F$ . ¿Es posible que $p(x_1,\dots,x_n)=0$ para cada $(x_1,\dots, x_n)\in F^n$ ?

Answer 1

Llame a $f=|F|$ el número de elementos de $F$ . Entonces el polinomio $$X^fY-XY^f \in F[X,Y]$$ aniquila todos los puntos de $F^2$ .

Answer 2

Suele ser conveniente tener en cuenta, por ejemplo en $\mathbb{F}_{q}[x]$ la colección de polinomios en $\mathbb{F}_{q}[x]/\langle x^{q-1} -1 \rangle$ porque $x^{q-1}-1$ es equivalente al polinomio cero en $\mathbb{F}_q$ (como asignación).

En tu caso, con varias variables, si restringes el exponente de cada variable en cada término para que sea estrictamente menor que $|F|-1$ entonces cada polinomio representará un único mapa sobre $F^n$ (por lo que el mapa cero se representa unívocamente como el polinomio cero).