¿Existen grupos simétricos que sean cíclicos?
Porque he estado haciendo algunos problemas y tiendo a notar que los problemas que hago que involucran al grupo simétrico no son cíclicos lo que significa que no tienen un generador que genere el conjunto.
¿Existe algún caso en el que alguno de los grupos simétricos sea cíclico? Si no es así, ¿por qué ninguno es cíclico?
La prueba es errónea ya que para $S_5$ existe $(123)(45)\in S_5$ pero esto es orden $10$ .(contradicción)
Teorema: $S_n$ no es cíclico $\forall n>3$
Prueba: $|S_n|=n!$ elija un elemento y suponga que $g\in S_n$ es generador de $S_n$ , $<g>=S_n$ y tal que $o(<g>)=n!$ pero es imposible ya que $S_n$ sólo pueden tener como máximo el orden $n$ contradicción. $\Box$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
