¿Existen grupos simétricos que sean cíclicos?

Question

¿Existen grupos simétricos que sean cíclicos?

Porque he estado haciendo algunos problemas y tiendo a notar que los problemas que hago que involucran al grupo simétrico no son cíclicos lo que significa que no tienen un generador que genere el conjunto.

¿Existe algún caso en el que alguno de los grupos simétricos sea cíclico? Si no es así, ¿por qué ninguno es cíclico?

Answer 1

En $n \geq 3$ el grupo simétrico $S_n$ no es abeliano (ejercicio), por lo que en particular no es cíclico.

Answer 2

Hay muchas maneras de responder a esta pregunta, así que aquí está mi oportunidad:

En primer lugar, es cierto que $S_1$ y $S_2$ son cíclicos: sólo tienen $1$ y $2$ respectivamente, por lo que no hay nada sorprendente. Así que consideremos el grupo simétrico en tres o más elementos.

Reclamación : $S_n$ no es cíclico para $n \geq 3$ .

Para empezar, es un buen ejercicio demostrar que los subgrupos de grupos cíclicos son necesariamente cíclicos. Dado esto, demuestre que $S_3$ no es cíclico y observe que $S_n \subset S_m$ para todos $n \leq m$ .

Como otros están diciendo, otra forma (probablemente más fácil) de demostrar la afirmación es mostrar que los grupos cíclicos son abelianos $^\dagger$ y demostrar que los subgrupos de grupos abelianos son abelianos. Entonces basta con demostrar que $S_3$ no es abeliano.

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$^\dagger$ El grupo simétrico no sólo no es abeliano, sino que además es trivial. centro . Véase aquí .

Answer 3

He aquí otra forma de demostrarlo (NO necesariamente la mejor, desde un punto de vista pedagógico, ni mucho menos):

$S_n$ es cíclico si y sólo si tiene un elemento de orden $n!$ .

Ahora, descomponiendo una permutación $\sigma \in S_n$ en ciclos disjuntos es lo mismo que definir una partición de $n$ (Una partición de $n$ es una secuencia (finita) de números enteros $1 \leq a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_k \leq n$ tal que $a_1 + a_2 +\cdots + a_k = n$ ), si asignamos elementos fijos de $\{1,2,\dots,n\}$ en $\sigma$ a $1$ -ciclos, y escribe los ciclos en orden creciente de longitud.

El orden de cualquier permutación $\sigma$ depende SÓLO de la partición inducida (llámese $\pi_{\sigma}(n)$ ). Si definimos $\text{lcm}(\pi_{\sigma}(n)) = \text{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_k)$ cuando $k > 1$ y $\text{lcm}(\pi_{\sigma}) = a_1$ cuando $k = 1$ entonces:

$|\sigma| = \text{lcm}(\pi_{\sigma}(n))$

Por ejemplo, en $S_6$ si $\sigma = (2\ 5)(3\ 4\ 6) = (1)(2\ 5)(3\ 4\ 6)$ la partición inducida es $(1,2,3)$ Nota $1+2+3 = 6$ y el orden de $\sigma$ es realmente $6 = \text{lcm}(1,2,3)$ .

Teorema: si $n > 2$ entonces $\text{lcm}(\pi(n)) < n!$ para cualquier partición $\pi$ de $n$ .

La prueba es por inducción (completa) sobre $n$ . Nuestro caso base es $n = 3$ . Existen $3$ posibles particiones de $3$ :

$\pi_1 = (1,1,1), \pi_2 = (1,2),\pi_3 = (3)$ . Calculamos:

$\text{lcm}(\pi_1) = 1$ , $\text{lcm}(\pi_2) = 2$ , $\text{lcm}(\pi_3) = 3$ . En todos los casos, $\text{lcm}(\pi_j) < 6 = 3!$ para $j = 1,2,3$ .

Así que suponemos que $\text{lcm}(\pi) < m!$ para todas las particiones $\pi$ de $2 < m < n$ .

Tenga en cuenta que si $\pi$ es una partición de $n$ con $k > 1$ , digamos $\pi = (a_1,a_2,\dots,a_k)$ que $\pi' = (a_2,\dots,a_k)$ es una partición de $n - a_1 < n$ . Por lo tanto:

$\text{lcm}(\pi) = \text{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_k) = \text{lcm}(a_1,\text{lcm}(a_2,\dots,a_k)) = \text{lcm}(a_1,\text{lcm}(\pi')) \leq a_1\cdot\text{lcm}(\pi')$

$< a_1\cdot (n-a_1)!$ (por nuestra hipótesis de inducción)

$\leq a_1\cdot (n - 1)! \leq n\cdot (n-1)! = n!$

En caso contrario $\pi = (n)$ y $\text{lcm}(\pi) = n < n!$ ya que $n > 2$ . Con esto concluye la prueba de inducción.

Corolario: para $n > 2,\ S_n$ no es cíclico.

Sea $\sigma \in S_n$ . Entonces $|\sigma| = \text{lcm}(\pi_{\sigma})$ y $\pi_{\sigma}$ es una partición de $n$ Así que $|\sigma| < n!$ y $\sigma$ no genera $S_n$ .

Answer 4

Sólo para dar una respuesta completa (en respuesta a los comentarios bajo la pregunta) lo siguiente. La pregunta no pide "hasta isomorfismo", así que permítanme ir para la descripción de todos los grupos simétricos cíclicos.

El grupo simétrico del conjunto vacío y cualquier grupo simétrico de un conjunto único son grupos triviales y, por tanto, cíclicos. El grupo simétrico $S(X)$ de cualquier conjunto $X$ con $\#X=2$ tiene $\#S(X)=2$ Así que $S(X)$ es cíclico, y generado por la transposición de los dos elementos de $~X$ . Esto completa la lista de grupos simétricos cíclicos. Siempre que $X$ tiene al menos $3$ elementos distintos, elija $3$ de ellos y llamarlos $a,b,c$ respectivamente, entonces $S(X)$ no puede ser cíclico: contiene las transposiciones $(a~b)$ y $(b~c)$ que no conmutan, mientras que los grupos cíclicos son necesariamente conmutativos.

Answer 5

Este es mi planteamiento, la idea es muy elemental, me ha gustado pensarlo, puede que sea poco intuitivo (si hay algo mal, por favor, avisadme).

Lema 1: Toda permutación puede escribirse por producto de transposiciones.

Prueba: Sea $f=\left (f_n \; f_{n-1}\; ... f_3 \;f_2\;f_1\right)$ y para $n\in\mathbb N^+$ $f$ es igual a $(f_{2}\;f_{1})(f_{3}\;f_{1})(f_{4}\;f_{1})....(f_{n-1}\;f_{1})(f_{n}\;f_{1})=\left (f_n \; f_{n-1}\; ... f_3 \;f_2\;f_1\right)$$\Box$

Lema 2: Cada permutación se escribe impar o número par de transposiciones

Prueba: Omitido, se puede encontrar, es un poco largo. $\Box$

Lema 3: Para $n>2$ cada $S_n$ tiene permutaciones pares e Impares.

Prueba: $S_3$ tiene $(123)$ que es par y $(12)$ que es impar. Desde $\forall n>3$ , $S_n$ consiste $S_3$ , $S_n$ tiene permutaciones pares e Impares. $\Box$

Lema 4: Cada potencia de una permutación tiene la misma polaridad. Es decir, $f$ sea permutación, y $P(x)$ ser función de polaridad que muestra permutaciones impar o par. $P(f)=P(f^2)=....=P(f^d)$ donde $f^d=id$

Prueba: Utilizar el orden y $lcm(n,m)$ lema, lo demuestro sólo para los poderes de impar pemutation. Supongamos que $f$ es la permutación impar, es decir, el orden de $f$ es par. $o(f^2)=lcm(o(f),o(f))=o(f)$ que es orden de $f^2$ es par y por tanto la permutación $f^2$ es la permutación impar. $\Box$

Teorema: $S_n$ no es cíclico $\forall n>3$

Prueba: Supongamos que $S_n$ es cíclico para algún $n>3$ por lo que debe existir un elemento que genere $S_n$ llamemos a este elemento $g$ y por suposición $<g>=S_n$ pero está mal porque $g$ sólo puede generar como su polaridad (es decir, si $g$ es una permutación par, $g$ sólo puede generar permutaciones pares, pero también hay impares, y para $g$ es impar, la lógica es la misma).