Para cada grupo abeliano $G$ deje $T (G)$ sea el conjunto de todos los elementos de orden finito demuestre que $T (G / T (G)) = 0.$

Question

Para cada grupo abeliano $G$ deje $T (G)$ sea el conjunto de todos los elementos de orden finito demuestre que $T (G / T (G)) = 0.$

Ya he demostrado que $T(G)$ es un subgrupo de $G$

Pero estoy atascado aquí y no sé qué igual a $0$ significa si conjunto vacío de identidad.

¿Alguna pista sobre cómo hacerlo?

Answer 1

Decir que un grupo abeliano $A = 0$ es un abuso de notación decir que es isomorfo al grupo cero, o equivalentemente que $A = \{e\}$ compuesto únicamente por el elemento de identidad. Así, para demostrar que $T(G/T(G)) = 0$ significa realmente demostrar que sólo contiene el elemento de identidad. Todo grupo tiene una identidad, por lo que es imposible que estén vacíos. Como elementos de $G/T(G)$ son cosets, el elemento identidad de este grupo es $T(G)$ .

Ahora, tomemos algunas $a \in T(G/T(G))$ y recoger algunos $g \in G$ tal que $a = gT(G)$ . Esto significa que $g T(G)$ tiene orden finito, por lo que $(g T(G))^n = T(G)$ para algunos $n \geq 1$ . Por definición de la multiplicación de cosets, esto significa que $g^n T(G) = T(G)$ . Como estos dos cosets son iguales, tenemos necesariamente $g^n \in T(G)$ . Por lo tanto, hay algún $m \geq 1$ tal que $(g^n)^m = e$ donde $e \in G$ es el elemento de identidad. Pero entonces $g^{mn} = e$ Así que $g$ mismo tenía orden finito, es decir $g \in T(G)$ . Pero si $g \in T(G)$ entonces $g T(G) = T(G)$ Así que $a$ es el elemento de identidad.

Empezamos con un $a \in T(G/T(G))$ y demostró que $a = T(G)$ el elemento de identidad. Así, el único elemento de $T(G/T(G))$ es la identidad, tal como se ha definido anteriormente, $T(G/T(G)) = 0$ .