¿Intuición geométrica para \pi $ / 4 = 1-1/3 + 1/5 - \cdots$?

Question

Tras la lectura de este gran post : ¿cuáles son algunos casos interesantes de $\pi$ que aparecen en situaciones en las que no se / no parecen geométricas?, Vadim respuesta me recordó algo un análisis de la profesora había dicho a mí cuando yo era un estudiante - que nadie se lo había dado a él una satisfactoria explicación intuitiva de por qué esta serie de definición debe ser cierto (el supuesto implícito es que es tan simple, no debería haber alguna manera de mirar este para que sea intuitivo).

Ahora se deduce simplemente de poner de $x=1$ en la expansión de la serie $$ \bronceado^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $$

pero yo no veo nada de geometría intuitiva acerca de esta fórmula, ya sea!

Answer 1

Dudo que no es una simple prueba geométrica que puede ser visualizado directamente, como un círculo de área de cómputo utilizando algunos de inclusión-exclusión en el procedimiento.

He aquí un buen artículo.

---

Podríamos dividir la prueba en tres pasos:

1. El área de un cuarto de círculo unitario es igual al área debajo de $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ en el intervalo $[0,1]$

2. $\frac{1}{1+x^2}=1 - {x^2} + {x^4} - \cdots$ para $|x|<1$

3. $\int_0^1 x^{2n} dx= \frac{1}{2n+1}$

Paso 1 admite varias visual-geométrico de las pruebas (por debajo de insertar un diagrama que hice para el vinculado pregunta, que muestra el área de equivalencia para el total gráfico: $\int_{-\infty}^{\infty}1/(1+x^2) dx =\pi$; sólo el ajuste a la $[0,1]$ rango).

Pero los pasos 2 y 3, aunque elemental desde un punto de vista del análisis, no parecen fáciles de visualizar.

---

Se añadió una explicación por el comentario de solicitud: el gráfico (editado) tiene la intención de mostrar que las dos áreas en amarillo son (asintóticamente) igual.

En primer lugar, tenemos un sector circular de radio 1 y arc $s$, que es aproximada por un triángulo con la misma altura y la base ; por lo tanto su área es de $s/2$.

La otra zona está por debajo de la función $\frac{1}{2(1+x^2)}$, por lo que su área es de $ \overline{CE} \times y = \frac{1}{2(1+x^2)}$. Podemos entonces calcular $$:

Porque $B0C$ es rectangular $\ell=\overline{BC}=\sqrt{1+\overline{0}^2}=\sqrt{1+x^2}$

Porque los triángulos $CDB$ y $C D B$ son similares, $\ell=\frac{\overline{BC}}{\overline{B, C^{'}}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{C^{'}D^{'}}}=\frac{t}{s}$

Porque $CED$ y $BOC$ son similares $\frac{a}{t}=\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{0}}=\ell$

Por lo tanto $a= s \ell^2 = s (1+x^2)$ y la zona también es $s/2$.

Aplicando esto a la gama de $[0,1]$ deducimos que el área de una octava de un círculo unitario es igual a $\int_0^1 \frac{1}{2(1+x^2)}dx$

Answer 2

Hay una prueba de esta fórmula de uso de la geometría y la aritmética de la Gaussiana entero anillo de $R=\mathbf Z[i]$. Resulta que esta fórmula puede ser reducido a la afirmación de que el círculo unidad dispone de área $\pi$!

Por $\Re s>1$, el Dedekind función zeta de $R$ es definido como el convergente la serie

$$\zeta_R(s) = \sum_{I \subseteq R} \|I\|^{s}$$

donde la suma se toma sobre el distinto de cero ideales de $R$. Desde $R$ es un PID, y desde $R^\times = \{\pm 1, \pm i\}$, también podemos escribir esto como

$$\zeta_R(s) = \frac{1}{4}\sum_{(m,n)}(m^2+n^2)^{s}$$

la suma se toma sobre los pares $(m,n) \in \mathbf Z^2$ con $m^2+n^2 \neq 0$.

La función $\zeta_R(s)$ tiene una simple polo $s=1$, y podemos calcular su residuo existe en dos formas diferentes: utilizando la aritmética, y el uso de la geometría.

1. El uso de la geometría: de Acuerdo a la Wiener-Ikehara teorema aplicado a la de la serie de Dirichlet $\zeta_R(s)$, podemos calcular el residuo como $$\mathrm{Res}_{s=1}\zeta_R(s) = \lim_{N\to \infty} \frac{1}{4N}\sum_{m^2+n^2\leq N} 1$$ La suma simplemente cuenta el número de celosía puntos dentro del círculo de radio $\sqrt{N}$, que es aproximadamente el área de este círculo, es decir, $\pi$ N (hasta un error, el cual es asesinado cuando se divide por $N$ y tomando el límite).
2. El uso de la aritmética: Por la Reciprocidad Cuadrática, la función $\zeta_R(s) de$ factores como $$\zeta_R(s) = \zeta(s) L(\chi, s)$$ donde $\zeta(s)$ es la de Riemann zeta función y $\chi : (\mathbf Z/4\mathbf Z)^\times \a \{\pm 1\}$ es la primitiva cuadrática de Dirichlet carácter de conductor $4$, $\chi(n) = (-1)^{(n-1)/2}$, que codifica la división de números primos en $R$. Tenemos $$L(\chi, 1) = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots,$$ y el residuo de $\zeta(s)$ a $s=1$ es $1$; por lo tanto $\mathrm{Res}_{s=1}\zeta_R(s) = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$.

Por lo tanto, $$\mathrm{Res}_{s=1}\zeta_R(s) = \frac\pi 4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots.$$

Answer 3

Deje que $\mathbf T = S^1 \times S^1$ ser el toro con las coordenadas $(\theta, \psi)$, con la métrica de Riemann $d\theta \otimes d\theta+ d\psi \otimes d\psi$. El operador de Laplace en $\mathbf T$ es $\Delta = \frac{\partial^2}{\parcial \theta^2}+\frac{\partial^2}{\parcial \psi^2}$. Funciones propias del Laplaciano son las funciones $e^{2\pi i (n\theta+m\psi)}$ para $(m,n) \in \mathbf Z^2$, con autovalores $(2\pi i)^2(m^2+n^2)$.

La espectral de la función zeta de $\mathbf T$ es, por tanto,

$$\zeta_{\mathbf T}(s) = \mathrm{tr}(\Delta^{s}) = (2\pi)^{-2}\sum_{(m,n)} (m^2+n^2)^{-s}.$$

Por un teorema de Minakshisundaram-Pleijel, dispone de un sencillo polo $s=\frac{\dim \mathbf T}{2}=1$ con residuo dada por

$$\frac{1}{(2\sqrt \pi)^{\dim \mathbf T}\Gamma(\dim \mathbf T/2)} = \frac{1}{(2\sqrt \pi)^{2}\Gamma(1)} = 1/4\pi.$$

Por otro lado, el uso de la parte 2. de mi otra respuesta, $$\mathrm{Res}_{s=1}{\zeta_{\mathbf T}(s)} = 4(2\pi)^{-2}\left(1-\frac13+\frac15 - \dots\right).$$ Por lo tanto,

$$1-\frac13+\frac15 - \dots = \frac{(2\pi)^2}{4 \times 4\pi} = \frac{\pi}{4}.$$

(Sería bueno hacer este autónomo, y dar una explicación para la factorización de $\zeta_{\mathbf T}(s) = 4(2\pi)^{-2}\zeta(s)L(\chi,s)$ usando sólo la interpretación de $\zeta_{\mathbf T}$ como un espectral de la función zeta...)

Answer 4

Yo diría que

$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}=\tan^{-1} 1-\tan^-{1} (0) = \frac {\pi} {4} $

así que esta es el área bajo la curva $\frac{1}{1+x^2},\,\, x\, \in [0,1] $.

$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}=\int_0^1(1-x^2+x^4\cdots) dx = [x-\frac {x ^ 3} {3} + \frac {x ^ 5} {5} \cdots] _0 ^ 1 = 1-\frac {1} {3} + \frac {1} {5} \cdots$