¿Existe una demostración puramente algebraica del teorema de Frobenius? He aquí un esbozo de lo que estoy buscando:
Sea $Der(R)$ denotan el $R$ -de ( $R$ -valorativas) del álgebra $R$ dotado del soporte de mentira dado por el conmutador.
Definición: A distribución $D$ es un submódulo de $Der(R)$ .
"Teorema de Frobenius - Bajo cierta restricción en el álgebra base $R$ (y en el álgebra $S$ que se introducirá) se cumple lo siguiente:
Una distribución $D \subset Der(R)$ es cerrado bajo el soporte de mentira de $Der(R)$ si para todo ideal maximal $m \subset R$ existe un epimorfismo $f: R \to S$ tal que después de localizar $R$ por $m$ y $S$ por $f(m)$ que tenemos: $v \in D_m \iff \exists u \in Der(S)_{f(m)}$ satisfaciendo $f_m \circ v = u \circ f_m$ .
Estoy seguro de que existe una formulación algebraica "más bonita" de este problema, pero es lo mejor que he podido hacer con mis conocimientos actuales; cualquier sugerencia de mejora será bienvenida. ¿Existe un teorema general? ¿Tiene algún sentido?
Denotemos el álgebra exterior de $Der(R)$ por $\mathcal{A}^*$ . ¿Estoy en lo cierto en que la siguiente equivalencia es puramente algebraica y no se necesita ninguna entrada geométrica? (lo he demostrado, creo... necesito estar seguro):
Una distribución $D \subset Der(R)$ es cerrado bajo el soporte de mentira $\iff$ $I(D) = \bigcup_k \{\omega \in \mathcal{A}^k : \omega(m_1,...,m_k)=0 \text{ for every tuple of elements } \{m_i\}_{i \le k} \subset D \} \subset \mathcal{A}^*$ es un ideal diferencial . ( $d I(D) \subset I(D)$ ).
