¿Existe una demostración puramente algebraica del teorema de Frobenius? He aquí un esbozo de lo que estoy buscando:
Sea Der(R) denotan el R -de ( R -valorativas) del álgebra R dotado del soporte de mentira dado por el conmutador.
Definición: A distribución D es un submódulo de Der(R) .
"Teorema de Frobenius - Bajo cierta restricción en el álgebra base R (y en el álgebra S que se introducirá) se cumple lo siguiente:
Una distribución D \subset Der(R) es cerrado bajo el soporte de mentira de Der(R) si para todo ideal maximal m \subset R existe un epimorfismo f: R \to S tal que después de localizar R por m y S por f(m) que tenemos: v \in D_m \iff \exists u \in Der(S)_{f(m)} satisfaciendo f_m \circ v = u \circ f_m .
Estoy seguro de que existe una formulación algebraica "más bonita" de este problema, pero es lo mejor que he podido hacer con mis conocimientos actuales; cualquier sugerencia de mejora será bienvenida. ¿Existe un teorema general? ¿Tiene algún sentido?
Denotemos el álgebra exterior de Der(R) por \mathcal{A}^* . ¿Estoy en lo cierto en que la siguiente equivalencia es puramente algebraica y no se necesita ninguna entrada geométrica? (lo he demostrado, creo... necesito estar seguro):
Una distribución D \subset Der(R) es cerrado bajo el soporte de mentira \iff I(D) = \bigcup_k \{\omega \in \mathcal{A}^k : \omega(m_1,...,m_k)=0 \text{ for every tuple of elements } \{m_i\}_{i \le k} \subset D \} \subset \mathcal{A}^* es un ideal diferencial . ( d I(D) \subset I(D) ).
