Reordenaciones válidas de series infinitas: ¿dónde está la biyección cuando se divide una serie?

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de números reales no negativos $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ . Sé que el valor de la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ no cambia si permutas los índices.

Sin embargo, no me queda claro si esto implica que, por ejemplo, $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{k=1}^\infty a_{2k}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}$ . ¿Qué permutación se utiliza aquí? Parece que la idea no es tanto una permutación como "sumar primero los pares" y luego las probabilidades. Pero no es una permutación de $\Bbb N$ para asignar cada número a los pares ... y más tarde asignarlos a las probabilidades.

Claramente lo que está pasando aquí es

$$ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k}) $$

y estoy bastante seguro de que un $\varepsilon,\delta$ argumento demostraría que esta ecuación es cierta.

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La cuestión: Pero no es realmente una instancia de permutación es? ¿O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Una forma de ver esto es que si todos los términos de una serie son no negativo entonces la suma se puede definir de la siguiente manera: $$ \sum_{n\,\in\,I} a_n = \sup \left\{ \sum_{n\,\in\,I_0} : I_0 \subseteq I,\, I_0 \text{ is finite} \right\}. $$ Luego queda demostrar que es igual a las sumas definidas por límites de sumas parciales en los distintos reordenamientos-que-no-son-permutaciones, etc.

Answer 2

Sé que el valor de la serie $∑^∞_{n=1}a_n$ no cambia si permutas los índices.

Incorrecto. Busca en Google "Teorema de reordenación de Riemann". Lo que dices sólo es cierto si la serie converge absolutamente.

$\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{k=1}^\infty a_{2k}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}$

Consideremos las sumas parciales hasta $2N$ en el RHS (si el término general al menos llega a cero, no es muy difícil argumentar que el caso impar es el mismo). Esto es cierto para todas las series (convergencia absoluta y condicional) para las que existen ambos sumandos en el lado derecho. Por lo demás, no podemos decir nada.

EDIT: El teorema que afirmas es cierto si $a_n$ no son negativos (porque la convergencia debe ser absoluta), lo siento. También, por supuesto, en este caso, tanto la serie en el RHS existe por la prueba de comparación. Para demostrar que las sumas son iguales, no necesitamos preocuparnos más por las series, sólo necesitamos saber $\lim(a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n$ cuando ambos existen individualmente.

Answer 3

Un apunte sobre esta pregunta que, de haberlo sabido cuando la formulé, me habría permitido investigarla mejor: El teorema de Tonelli (o el teorema de Tonelli-Fubini) resolvería esta cuestión fácilmente. Así que cualquiera que esté interesado en esto puede buscar pruebas del teorema de Tonelli.