Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2)}$ tiene una suma de $\frac{1}{2(x+1)(x+2)}$

Question

Estoy tratando de demostrar que la siguiente serie:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} $$

tiene una suma de:

$$ \frac{1}{2(x+1)(x+2)} $$

Lo que he probado:

Utilizando los criterios que $S_n = b_1 - l$ :

$$ \frac{1}{(n+x)} - \frac{1}{(n+x+1)(n+x+2)} = \frac{(n+x+1)(n+x+2)-(n+x)}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} \\ \implies \frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} = \frac{1}{(n+x+1)(n+x+2)-(n+x)}(\frac{1}{(n+x)} - \frac{1}{(n+x+1)(n+x+2)}) = \frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2) - (n+x)^2} - \frac{1}{(n+x+1)^2(n+x+2)^2-(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} = b_n - b_{n+1} $$

Ahora que lo he hecho:

$$ b_n = \frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2) - (n+x)^2} \\ l = \lim_{n \to \infty}{b_n} = \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2) - (n+x)^2}} = \frac{1}{\infty} = 0 \\ b_1 = \frac{1}{(1+x)(1+x+1)(1+x+2) - (1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)(2+x)(3+x) - (1+x)^2} $$

Por lo tanto:

$$ S_n = b_1 - l \implies \\ S_n = \frac{1}{(1+x)(2+x)(3+x) - (1+x)^2} - 0 \\ S_n = \frac{1}{(1+x)(2+x)(3+x) - (1+x)^2} \\ = \frac{1}{(1+x)}.\frac{1}{(2+x)(3+x) - (1+x)} \\ = \frac{1}{(1+x)}.\frac{1}{(6+3x+2x+x^2-1-x) - (1+x)} \\ = \frac{1}{(1+x)}.\frac{1}{(x^2+4x+5)} $$

Lo cual no es el resultado esperado. ¿Estoy equivocado en alguna parte o es completamente erróneo?

Answer 1

I le sugiero que intente hacer lo que menciono a continuación. Creo que es más simple ( y es un general método para hallar la suma de este tipo de series, más adelante en este post te doy la forma general de la misma)

El truco: Para hallar los términos de la suma telescópica podemos añadir en el numerador la siguiente diferencia: el mayor plazo (en su caso $(n+x+2)$ ) menos el plazo más bajo $(n+x)$ y para no alterar la fracción dividir por eso diferencia (en su caso $2$ ).

A encontrar esa suma. Tome $f(n)=\frac{1}{2(n+x)(n+x+1)}$ . Aplique el truco

$$ \frac{1}{(n+x) (n+x+1)(n+x+2)}= \frac{(n+x+2 ) -(n+x)} {2(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} $$ $$=\frac{1}{2(n+x)(n+x+1)}-\frac{1}{2(n+x+1)(n+x+2)}=f(n)-f(n+1)$$ $$=- \left(f(n+1)-f(n) \right) .$$ Puede ver que $\lim\limits_{n \to \infty} f(n)=0,$ y $f(1)=\frac{1}{2(x+1)(x+2)}$

A continuación, utilice la suma telescópica

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+x) (n+x+1)(n+x+2)}=- \lim_{n \to \infty} [f(n+1)-f(1)]= \frac{1}{2(x+1)(x+2)}.$$

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Extra: Veamos el caso general

En general, calculamos el suma siguiente (entonces toma $n \to \infty$ $$\sum^{n}_{k=0}\frac{1}{(ak+b)(ak+b+a)\ldots (ak+b+sa) }. $$

El truco (de nuevo) Siempre que tengamos este tipo de suma podemos utilizar la suma telescópica. Para encontrar los términos de la suma telescópica de forma sencilla podemos sumar añadiendo en el numerador el siguiente término: suma $(ak+b+sa)$ the greatest term", subtract the término más bajo" $(ak+b)$ y para no alterar la fracción dividir por $\frac{1}{sa}$ la diferencia resultante de esos términos. $$\frac{1}{(ak+b)(ak+b+a)\ldots (ak+b+sa) }=\frac{1}{sa}\frac{(ak+b+sa) -(ak+b)}{(ak+b)(ak+b+a)\ldots (ak+b+sa) }$$ $$=\frac{1}{sa}\frac{1}{(ak+b)(ak+b+a)\ldots (ak+b+(s-1)a) } -\frac{1}{sa}\frac{1}{(ak+b+a)\ldots (ak+b+sa) }. $$

Toma $f(k)=\frac{1}{sa}\frac{1}{(ak+b)(ak+b+a)\ldots (ak+b+(s-1)a) }.$ Entonces la suma es $$\frac{-1}{sa}\sum^{n}_{k=0} \left(f(k+1) -f(k)\right) $$ por la suma telescópica es $$=\frac{-1}{sa}\left(f(n+1) -f(0)\right)=\frac{-1}{sa}\left(\frac{1}{(an+b)\ldots (an+b+(s-1)a) } -\frac{1}{(b)(b+a)\ldots (+b+(s-1)a) }\right). $$

Toma $n \to \infty$ entonces $$\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{(ak+b)(ak+b+a)\ldots (ak+b+sa) }=\frac{1}{sa(b)(b+a)\ldots (+b+(s-1)a) }.$$

Ejemplo:

Para conseguir su caso hacemos $a=1$ , $b=x+1$ y $s=2$

$$\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{(k+x+1)(k+x+2) (k+x+3) }=\frac{1}{2(x+1)(x+2) }.$$

Answer 2

La expresión dada puede simplificarse como $$\frac {1}{2} \left[ \frac {1}{(n+x)(n+x+1)} - \frac {1}{(n+x+1)(n+x+2)}\right ]$$

Que simplemente se telescopia a $$ \frac {1}{2(x+1)(x+2)} $$