Estoy tratando de demostrar que la siguiente serie:
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} $$
tiene una suma de:
$$ \frac{1}{2(x+1)(x+2)} $$
Lo que he probado:
Utilizando los criterios que $S_n = b_1 - l$ :
$$ \frac{1}{(n+x)} - \frac{1}{(n+x+1)(n+x+2)} = \frac{(n+x+1)(n+x+2)-(n+x)}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} \\ \implies \frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} = \frac{1}{(n+x+1)(n+x+2)-(n+x)}(\frac{1}{(n+x)} - \frac{1}{(n+x+1)(n+x+2)}) = \frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2) - (n+x)^2} - \frac{1}{(n+x+1)^2(n+x+2)^2-(n+x)(n+x+1)(n+x+2)} = b_n - b_{n+1} $$
Ahora que lo he hecho:
$$ b_n = \frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2) - (n+x)^2} \\ l = \lim_{n \to \infty}{b_n} = \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{(n+x)(n+x+1)(n+x+2) - (n+x)^2}} = \frac{1}{\infty} = 0 \\ b_1 = \frac{1}{(1+x)(1+x+1)(1+x+2) - (1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)(2+x)(3+x) - (1+x)^2} $$
Por lo tanto:
$$ S_n = b_1 - l \implies \\ S_n = \frac{1}{(1+x)(2+x)(3+x) - (1+x)^2} - 0 \\ S_n = \frac{1}{(1+x)(2+x)(3+x) - (1+x)^2} \\ = \frac{1}{(1+x)}.\frac{1}{(2+x)(3+x) - (1+x)} \\ = \frac{1}{(1+x)}.\frac{1}{(6+3x+2x+x^2-1-x) - (1+x)} \\ = \frac{1}{(1+x)}.\frac{1}{(x^2+4x+5)} $$
Lo cual no es el resultado esperado. ¿Estoy equivocado en alguna parte o es completamente erróneo?