¿Es válida mi prueba de contradicción integral-convergencia?
Tengo que repasar mis pruebas. Estoy un poco oxidado. No estaba seguro de si lo siguiente realmente se sostenía.
Quería demostrar que lo siguiente es convergente/divergente (trabajando con fracciones impropias) $\beta \in $ Números reales:
$$\int_{0}^1 \frac {1}{x\sqrt {1+x^\beta}}dx$$
A continuación expongo mi proceso de reflexión.
El aspecto "impropio" se produce en 0, por lo que la raíz es indiferente, lo que significa que $\beta$ puede ser cualquier número real. Si tengo que resolver esto, yo usaría la prueba de convergencia Ratio. $\frac 1x$ es una función similar en $x\to0^+$ .
Lo reconozco, lo siguiente me sonó dudoso.
Intentaré demostrarlo por contradicción. En los próximos pasos utilizaré la prueba de relación .
Supongamos que $\int_{0^+}^1 \frac {1}{x\sqrt {1+x^\beta}}dx$ converge.
Si $\lim_{x\to0^+} \frac{\frac1x}{\frac1{x\sqrt {1+x^\beta}}} $ =L donde L $\in$ Reales excluidos $0$ Entonces $\int_{o^+}^1 \frac1x dx $ converge ya que su relación es la misma.
Pero, ¡espera! Ahí radica una contradicción, $\int_{o^+}^1 \frac1x dx $ ¡no converge! Mi suposición original falla. Y si la función original no es convergente, entonces es divergente por definición.
Agradezco otras formas de hacerlo, en realidad solo tengo curiosidad y busco superarme.
