¿Qué implicaría la solución de este problema? Podría ser un primer paso para demostrar H10Q, el décimo problema de Hilbert sobre los racionales.
Este es un gran problema abierto: dada una ecuación $$P(x,y,\ldots,z)=0,$$ ¿existe un algoritmo para determinar si tiene raíces racionales?
Podríamos avanzar haciendo un paralelismo con la respuesta al décimo problema de Hilbert, H10Z, que es la pregunta correspondiente sobre los números enteros. Ese problema tiene una solución negativa: ningún algoritmo puede tomar un polinomio y determinar si tiene raíces enteras.
La demostración de H10Z consiste en emular la computación de la máquina de Turing utilizando polinomios sobre los números enteros, como en Davis . Comienza con el pequeño paso de emular el emparejamiento mediante polinomios, utilizando una función inyectiva $N \times N \rightarrow N$ : $$u(a,b)=\frac{1}{2}(a+b-2)(a+b-1)+b.$$
Para ver por qué esto es útil, siga el procedimiento de Davis para encontrar un polinomio $P$ tal que $$y=\prod_{k=1}^x(1+k^2)\ \leftrightarrow\ \exists z_1,\ldots,z_m \in \mathbf{N}\ P(x,y,z_1,\ldots,z_m)=0.$$ Los primeros pasos, empezando por el teorema 1.1 de Davis, requieren el uso de una función de emparejamiento como $u$ .
H10Q puede verse como una pregunta sobre si los polinomios sobre los racionales pueden emular a las máquinas de Turing del mismo modo que los polinomios sobre los enteros. Para resolver H10Q paralelamente a la demostración de H10Z, un primer paso natural es buscar una función polinómica de emparejamiento como $u$ arriba, y eso sería una inyección $Q \times Q \rightarrow Q$ .
Las referencias de nivel universitario al respecto parecen limitadas. La mayoría de los artículos sobre H10Q lo plantean de otra manera, mediante definiciones diofánticas de los enteros en los racionales, de modo que motivan este problema pero no ayudan a resolverlo. La Teoría de los Números de Hardy y Littlewood puede ser una buena referencia para el resultado negativo de que ningún polinomio cuadrático puede funcionar. Poonen papel vinculado en la pregunta MO tiene un resultado positivo sobre polinomios de grado superior, apoyándose en las conjeturas de geometría algebraica antes mencionadas. Puede que con el tiempo obtengamos una respuesta a nivel de licenciatura, pero el camino actual es más avanzado.
